【NOIP2015四校联训Day7】 题 题解（Tarjan缩点+DFS）

前言：没错，这题的名字就这么直白。我们考试题。

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你需要完成$n$道题目。有一些题目是相关的，当你做一道题的时候，如果你做过之前对它有帮助的题目，你会更容易地做出它。当然，如果题目$x$对题目$y$有帮助，题目$y$并不一定对题目$x$有帮助。你可以自由安排做题顺序。现在，你想要知道，你在完成所有题目的情况下，可能有多少题目是在有帮助的情况下完成的。

请注意：帮助具有传递性，即$a$对$b$有帮助，$b$对$c$有帮助，那么$a$对$c$有帮助。

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首先，我们考虑特殊情况。假设图是一条链。那么答案是$0-(n-1)$。

$0$：逆向走图。

$n-1$：顺向走图。

其他：“交流电”般地走。

如果图是多个连通块（多条链），答案显然是$0-k(n-1)$。

现在考虑有强连通分量的情况（一条链）。假设强连通分量的大小为$size$，那么可取的答案为$size-1$或$size$。

$size-1$表示从儿子走到父亲的情况。由于点都是互达的，所以只要到达一个点，其他点都是可达的。

$size$表示从父亲走到儿子。这时所有点都符合要求。

得到结论，答案范围为$sum_{i=1}^k (size[i]-1)$到缩点之前点个数减缩点之后点个数。

现在考虑一般情况（一个连通块）。把它当成一条链显然会漏掉答案，因为此时图有可能是一个无根树。所以我们需要$dfs$，把这棵树分成许多链，再进行计算。

考虑有多个连通块且一般的情况，我们只需用到前面的结论然后遍历全图即可。

考虑文字比较抽象，我把自己的思路写出来。（字比较丑。大佬轻喷QAQ）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=300005;
int cnt,dfn[maxn],vis[maxn],pos[maxn],low[maxn];
int st[maxn],top,tot;
int sum[maxn],size[maxn],num[maxn];
int jishu,head[maxn];
int n,m,x[maxn],y[maxn],du[maxn],chu[maxn];
int k,res;
struct node
{
    int next,to,dis;
}edge[maxn];
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void add(int from,int to)
{
    edge[++jishu].next=head[from];
    edge[jishu].to=to;
    head[from]=jishu;
}
void tarjan(int now)
{
    dfn[now]=low[now]=++cnt;
    st[++top]=now;vis[now]=1;
    for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (!dfn[to]) tarjan(to),low[now]=min(low[now],low[to]);
        else if (vis[to]) low[now]=min(low[now],dfn[to]);
    }
    if (low[now]==dfn[now])
    {
        tot++;
        while(st[top+1]!=now)
        {
            pos[st[top]]=tot;
            vis[st[top--]]=0;
        }
    }
}
int dfs(int now)
{
    if (!chu[now])
    {
        vis[now]=1;cnt++;
        return num[now];
    }
    cnt++;int ans=num[now];
    for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (vis[to]) continue;
        vis[to]=1;
        ans+=dfs(to);
    }
    return ans;
}
void clear()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(head,0,sizeof(head));
    memset(edge,0,sizeof(edge));
    jishu=0;cnt=0;
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        x[i]=read(),y[i]=read();
        add(x[i],y[i]);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) if (!dfn[i]) tarjan(i);
    clear();
    for (int i=1;i<=n;i++) num[pos[i]]++;
    for (int i=1;i<=m;i++) if (pos[x[i]]!=pos[y[i]]) add(pos[x[i]],pos[y[i]]),du[pos[y[i]]]++,chu[pos[x[i]]]++;
    for (int i=1;i<=tot;i++)
    {
        if (du[i]) continue;
        cnt=0;k++;
        sum[k]=dfs(i);size[k]=cnt;
        res+=(sum[k]-size[k]);
    }
    //for (int i=1;i<=tot;i++) cout<<num[i]<<endl;
    for (int i=res;i<=(n-k);i++) cout<<i<<endl;
    return 0;
}