Codechef TAPAIR Counting the important pairs 随机化、树上差分

传送门

题意：给出一个$N$个点、$M$条边的无向连通图，求有多少组无序数对$(i,j)$满足：割掉第$i$条边与第$j$条边之后，图变为不连通。$N leq 10^5 , M leq 3 imes 10^5$

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竟然随机化，歪果仁的思想好灵活qwq肯定是数据结构做多了

看起来很像割边，考虑$tarjan$，但是边三连通分量并不是很好实现，而且有很多特殊情况需要判断，所以我们考虑另外的算法

考虑$tarjan$时建出的一棵树。对于它来说，在一个端点在其下方、另一个端点在其上方的的返祖边可以成为它的依靠，因为割掉它，这一条依靠边可以代替它的功能。而对于一条返祖边来说，割掉对于树边是没有影响的，我们就定义它自己为自己的依靠。

这样每一条边都有自己的依靠集合。考虑两条依赖集合相同的边，将它们割掉之后，中间一段的点就会因为上下都没有额外的依靠而使得图不连通。而对于一条依赖集合为空的边（即割边），它选择任何边都可以加入贡献。

所以我们现在需要考虑如何给某一段边加入贡献。然后CC的题解给出的玄学办法是：随机化+树上差分+XOR

我们考虑将给一条返祖边定权值为一个$random$出来的值$t$，然后把所有依靠它的边的依靠集合异或上这个值，这个可以树上差分去做。这样所有的依靠集合就变成了一个数。然后我们判断两条边的依靠集合对应的数是否相等即可。

Because 2^64 is large enough comparing to the range of N and M, don't worry about the probability. :) You will get AC if you implemented correctly.——原题题解

然而我$rand() WA$了好几发qwq

如果随机数种子出了问题的话就看下面这种玄学rand好了

#include<bits/stdc++.h>
#define CC
using namespace std;

inline int read(){
    int a = 0;
    bool f = 0;
    char c = getchar();
    while(c != EOF && !isdigit(c)){
        if(c == '-')
            f = 1;
        c = getchar();
    }
    while(c != EOF && isdigit(c)){
        a = (a << 3) + (a << 1) + (c ^ '0');
        c = getchar();
    }
    return f ? -a : a;
}

const int MAXN = 100010;
struct Edge{
    int end , upEd;
}Ed[MAXN * 6];
int head[MAXN] , num[MAXN] , dep[MAXN] , fa[MAXN] , N , cntEd , cnt;
unsigned long long point[MAXN] , forS[MAXN * 3];
bool vis[MAXN];

#define ll unsigned long long
inline ll rp(){return (1ll*rand())^(1ll*rand())<<15^(1ll*rand())<<30^(1ll*rand())<<45^(1ll*rand())<<60;}

inline void addEd(int a , int b){
    Ed[++cntEd].end = b;
    Ed[cntEd].upEd = head[a];
    head[a] = cntEd;
}

void dfs1(int x , int t){
    fa[x] = t;
    dep[x] = dep[fa[x]] + 1;
    vis[x] = 1;
    for(int i = head[x] ; i ; i = Ed[i].upEd)
        if(!vis[Ed[i].end])
            dfs1(Ed[i].end , x);
        else
            if(dep[Ed[i].end] > dep[x]){
                long long t = rp();
                point[x] ^= t;
                point[Ed[i].end] ^= t;
                forS[++cnt] = t;
            }
}

void dfs2(int x){
    for(int i = head[x] ; i ; i = Ed[i].upEd)
        if(fa[Ed[i].end] == x){
            dfs2(Ed[i].end);
            point[x] ^= point[Ed[i].end];
        }
    if(x != 1)
        forS[++cnt] = point[x];
}

int main(){
#ifdef CC
    freopen("TAPAIR.in" , "r" , stdin);
    freopen("TAPAIR.out" , "w" , stdout);
#endif
    
    N = read();
    int M = read();
    for(int i = 1 ; i <= M ; i++){
        int a = read() , b = read();
        addEd(a , b);
        addEd(b , a);
    }
    dfs1(1 , 0);
    dfs2(1);
    sort(forS + 1 , forS + cnt + 1);
    int p = 1;
    while(p <= cnt && forS[p] == 0)
        p++;
    long long ans = (p - 1) * (long long)(p - 2) / 2 + (p - 1) * (M - p + 1);
    while(p <= cnt){
        int beg = p;
        while(p <= cnt && forS[p] == forS[beg])
            p++;
        ans += (long long)(p - beg) * (p - beg - 1) / 2;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}