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  • [我也不知道来源是哪] 一道数论题

    题面:

        求所有 满足 a+b<=n 且 (a+b)|(a*b) 的有序对 (a,b)。

        n<=10^14.

    sol:

        推一推就好啦,设 d = gcd(a,b) , a'=a/d , b'=b/d。

        那么题目相当于要求 (a'+b')*d <=n 且 (a'+b') | d 的三元组 (a',b',d)。

        可以发现 gcd(a',b')=1,所以枚举一下 a'+b' (显然最大只有sqrt(n)),然后算一下贡献就好啦。

    /*
        ∑∑[i+j<=n] * [i+j | i*j]
        ∑∑[i'+j'<=n/d] * [i'+j' | d]
        ∑φ(i) *  [n/i^2]
    */
    
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    #define ll long long
    using namespace std;
    const int N=10000000;
    
    int zs[N/10+5],t=0,phi[N+5],m;
    bool v[N+5];
    ll ans,n;
    
    inline void init(){
    	phi[1]=1;
    	for(int i=2;i<=m;i++){
    		if(!v[i]) zs[++t]=i,phi[i]=i-1;
    		for(int j=1,u;j<=t&&(u=zs[j]*i)<=m;j++){
    			v[u]=1;
    			if(!(i%zs[j])){ phi[u]=phi[i]*zs[j]; break;}
    			phi[u]=phi[i]*(zs[j]-1);
    		}
    	}
    }
    
    inline void solve(){
    	for(int i=2;i<=m;i++) ans+=phi[i]*(n/(i*(ll)i));
    }
    
    int main(){
    	scanf("%lld",&n),m=(int)floor(sqrt(n+0.5)),init();
    	solve(),printf("%lld
    ",ans);
    	return 0;
    }
    

      

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