参考自:http://hi.baidu.com/acmgood/blog/item/53ca7237aaab32d5a3cc2bb4.html
题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。
用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值(注意取得最大价值的情况背包不一定被装满,即最大价值情况下物品的总重量<=V)。则其状态转移方程便是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN),其中时间复杂度应该已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O(V)。
先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么,如果只用一个数组f[0..V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢?f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推f[i][v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值,因为逆序计算f[v]时f[v-c[i]]保存的值就是f[i-1][v-c[i]],还没有被重写覆盖。伪代码如下:
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}
,因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知,与本题意不符,但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案,故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。
事实上,使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到,所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程,以后的代码中直接调用不加说明。
过程ZeroOnePack,表示处理一件01背包中的物品,两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。
procedure ZeroOnePack(cost,weight)
for v=V..cost
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了,避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了,就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态f[0..cost-1],这是显然的。
有了这个过程以后,01背包问题的伪代码就可以这样写:
for i=1..N
ZeroOnePack(c[i],w[i]);
初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
为什么呢?可以这样理解:初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”,其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满,那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为0了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。
一个常数优化
前面的伪代码中有 for v=V..1,可以将这个循环的下限进行改进。
由于只需要最后f[v]的值,倒推前一个物品,其实只要知道f[v-w[n]]即可。以此类推,对以第j个背包,其实只需要知道到f[v-sum{w[j..n]}]即可,但是这个f[v-sum{w[j..n]}代表的是第【j-1】次中计算出的值,因为这里的f[v-sum{w[j..n]}实际上应该是f[j-1][v-sum{w[j..n]},而不是f[j][v-sum{w[j..n]}(在网上其他文章里看到的都按在第j次循环里算的,但是我觉得更精确的应该是第j-1次循环里算,个人见解,欢迎留言交流),所以代码中的
for i=1..N
for v=V..0
可以改成
for i=1..n
bound=max{V-sum{w[(i+1)...n]},c[i]} //c[i]作为一个下限,因为小于c[i]的值减去c[i]之后就小于0了,在f中没有这样的索引
for v=V..bound
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
这对于V比较大时是有用的。
小结
01背包问题是最基本的背包问题,它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想,另外,别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法,状态转移方程的意义,以及最后怎样优化的空间复杂度。
最后,附上代码:
1 //============================================================================ 2 // Name : 01pack.cpp 3 // Author : jiadebin 4 // Version : 5 // Copyright : Your copyright notice 6 // Description : 0/1背包问题 7 //============================================================================ 8 9 #include <iostream> 10 #include <cstring> 11 #include <fstream> 12 using namespace std; 13 14 #define MAXSIZE 10001 15 #define IN "in.txt" 16 17 int main() { 18 int N, V; 19 int i, j, bound=0; 20 int c[MAXSIZE], w[MAXSIZE], f[MAXSIZE]; 21 ifstream in(IN); 22 in>>N>>V; 23 for(i=1;i<=N;i++) 24 { 25 in>>c[i]>>w[i]; 26 } 27 memset(f, 0, sizeof(f)); 28 for(i=1;i<=N;i++) 29 { 30 for(int k=i+1;k<=N;k++) 31 { 32 bound+=c[k]; 33 } 34 bound=V-bound; 35 if(bound<c[i]) 36 { 37 bound=c[i]; 38 } 39 40 for(j=V;j>=bound;j--) 41 { 42 f[j]=f[j]>(f[j-c[i]]+w[i])?f[j]:(f[j-c[i]]+w[i]); 43 } 44 } 45 cout<<"result is: "<<f[V]<<endl; 46 return 0; 47 }
测试数据
//in.txt:
5 100
77 92
22 22
29 87
50 46
99 90
//out.txt
133
//in.txt:
8 200
79 83
58 14
86 54
11 79
28 72
62 52
15 48
68 62
//out.txt
334