最长公共子序列 和其变形

LCS是Longest Common Subsequence的缩写，即最长公共子序列。一个序列，如果是两个或多个已知序列的子序列，且是所有子序列中最长的，则为最长公共子序列。（摘自百度百科）

一.DP通法
　　给定串1和串2，求其LCS
　　譬如给定2个序列：

1 2 3 4 5

3 4 2 5
求其最长的公共子序列。

显然长度是3，包含3 4 5 三个元素

我们可以用dp[i][j]来表示第一个串的前i位，第二个串的前j位的LCS的长度，那么我们是很容易想到状态转移方程的：

　　 如果不相同，即无法更新公共元素，考虑继承：

dp[ i ] [ j ] = max(dp[ i-1 ][ j ] , dp[ i ][ j-1 ]);
如果当前的串1[i]和串2[j]相同（即是有新的公共元素） 那么

dp[ i ] [ j ] = max(dp[ i ] [ j ], dp[ i-1 ] [ j-1 ] + 1);

#include<iostream>
#include<cstdio>    
#include<cctype>
#include<cmath>
#define R register int
using namespace std;
const int N=5010;
int n,m,dp[N][N];
char c1[N],c2[N];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(R i=1;i<=n;i++) scanf("%c",&c1[i]);
    for(R i=1;i<=m;i++) scanf("%c",&c2[i]);;
    for(R i=1;i<=n;i++)
        for(R j=1;j<=m;j++)
        {
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            if(c1[i]==c2[j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);
        }
    printf("%d
",dp[n][m]);
    return 0;
}

二.可是总有一些独特的：洛谷 P1439 【模板】最长公共子序列
这道题卡上面的朴素算法，也考察到了全排列的性质

对于这个题而言，朴素算法是n^2的，会被10^5卡死，所以我们可以考虑nlogn的做法：

因为两个序列都是1~n的全排列，那么两个序列元素互异且相同，也就是说只是位置不同罢了，那么我们通过一个数组将A序列的数字映射成它的位置
来转化成nlogn求最长上升子序列
譬如：

把A数组作为F数组的下标

A数组 3 1 2 4 5

F数组 1 2 3 4 5

再利用F数组将B转化

B数组 2 4 3 5 1 -> B'数组 3 4 1 5 2

此时nlogn求出B的最长上升子序列的长度就解决了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cmath>
#define R register int
using namespace std;
const int N=100010;
int f[N],a[N],b[N],c[N];

inline int g()
{
    int ret=0,fix=1; char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar())) fix=ch=='-'?-1:fix;
    do ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-'0'; while(isdigit(ch=getchar()));
    return ret*fix;
}

int main()
{
    R n=g();
    for(R i=1;i<=n;i++) a[i]=g(),f[a[i]]=i;
    for(R i=1;i<=n;i++) b[i]=g(),b[i]=f[b[i]];
    R len=0;
    for(R i=1;i<=n;i++)
        if(b[i]>c[len]) c[++len]=b[i];
        else
        {
            R pos=lower_bound(c+1,c+len+1,b[i])-c;
            c[pos]=b[i];    
        }
    printf("%d
",len);
    return 0;
}

所以。。。算法真是很奇妙

只有灵活的运用才是真的酷。。。

如有错误，恳请您指正（我太菜了）；如有不理解，可留言，我会尽量回复。。。（高中生吐槽一波。。）

by Jackpei 2019.2.8