[笔记] 线性筛小记

本文讲了

1. 线性筛质数
2. 线性筛$varphi(n)$
3. 线性筛$mu(n)$
4. 线性筛$d(n)$(因数个数)
5. 线性筛$sigma(n)$(约数和)

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一、线性筛质数

• 就扔个代码吧，具体详见欧拉线性筛 和 欧拉函数的求值

  inline void PRI(int n) {
      for(R i=2;i<=n;++i) {
          if(!v[i]) pri[++cnt]=i;
          for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
              v[i*pri[j]]=true; if(i%pri[j]==0) break;
          }
      }
  }

二、线性筛$varphi(n)$

• 也详见欧拉线性筛 和 欧拉函数的求值

  inline void PHI(int n) { p[1]=1;
      for(R i=2;i<=n;++i) {
          if(!v[i]) pri[++cnt]=i,p[i]=i-1;
          for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
              v[i*pri[j]]=true; 
              if(i%pri[j]==0) {p[i*pri[j]]=p[i]*pri[j]; break;}
              p[i*pri[j]]=p[i]*p[pri[j]];
          }
      }
  }

三、线性筛$mu(n)$

• $mu(n)=egin{cases} 0&有平方素因子  \ 1&素因子个数为偶数\ -1&素因子个数为奇数end{cases}$
• 直接根据定义去筛

  inline void MU(int n) { mu[1]=1;
      for(R i=2;i<=n;++i) {
          if(!v[i]) pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
          for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
              v[i*pri[j]]=true;
              if(i%pri[j]==0) break;
              mu[i*pri[j]]=-mu[i];
          }
      } 
  }

四、线性筛$d(n)$(因数个数)

• 首先公式：$n=prod_{i=1}^kspace p_i^{c_i}$，那么$d(n)=prod_{i=1}^kspace (c_i+1)$
• 记$d[n]$为$n$的因数个数，$c[n]$为$n$最小素因子出现次数；

  inline void D(int n) { d[1]=1;
      for(R i=2;i<=n;++i) {
          if(!v[i]) pri[++cnt]=i,d[i]=2,c[i]=1;
          for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
              v[i*pri[j]]=true;
              if(i%pri[j]==0) {
                  c[i*pri[j]]=c[i]+1;
                  d[i*pri[j]]=d[i]/(c[i]+1)*(c[i]+2);
                  break;
              } d[i*pri[j]]=d[i]*2;
              c[i*pri[j]]=1;
          }
      }
  }

• 若$i$是素数，则显然$d[i]=2,c[i]=1$
• 若$i$不是素数，则要分类讨论

1. 若$i%pri[j]==0$，说明$pri[j]$是$i$的最小素因子（因为素数是从小到大枚举的），所以$c[i*pri[j]]=c[i]+1$,而$d[i]=(c[i]+1)*(k_1+1)*(k_2+1)*...$，所以此时$c[i*pri[j]]$比$c[i]$增大了$1$,所以$d[i*pri[j]]=d[i]/(c[i]+1)*(c[i]+2)$
2. 若$i%pri[j]!=0$,说明$pri[j]$是$i*pri[j]$的最小素因子，所以$c[i*pri[j]]=1$，对于$i$来说，相当于添了一个以前没有的素因子$pri[j]$，所以$d[i*pri[j]]=d[i]*2$.

五、线性筛$sigma(n)$(约数和)

• 首先公式：$n=prod_{i=1}^kspace p_i^{c_i}$，那么$sigma(n)=prod_{i=1}^k 1+p_i+p_i^2+...+p_i^{c_i}=prod_{i=1}^ksum_{j=0}^{c_i} p_i^j$
• 记$s[n]$为$n$的因数和，$c[n]$为$1+p_{min}+p_{min}^2+...+p_{min}^c$,其中$p_{min}$表示的是$n$的最小素因子，$c$是最小素因子在$n$中的的出现次数。

  inline void SIGMA() { s[1]=1;
      for(R i=2;i<=n;++i) {
          if(!v[i]) pri[++cnt]=i,s[i]=i+1,c[i]=i+1;
          for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
              v[i*pri[j]]=true;
              if(i%pri[j]==0) {
                  c[i*pri[j]]=c[i]*pri[j]+1;
                  s[i*pri[j]]=s[i]/c[i]*c[i*pri[j]];
                  break;
              } c[i*pri[j]]=pri[j]+1;
              s[i*pri[j]]=s[i]*(pri[j]+1);
          }
      }
  }

• 若$i$是素数，则显然$s[i]=i+1,c[i]=i+1$
• 若$i$不是素数，则又要分类讨论

1. 若$i\%pri[j]==0$，说明$pri[j]$是$i$的最小素因子（因为素数是从小到大枚举的），所以原来的$\1+p_{min}+p_{min}^2+...+p_{min}^c\$，要变成$\1+p_{min}+p_{min}^2+...+p_{min}^{c+1}\$，所以在原来的基础上乘上$p$，再加个$1$就好了，所以$c[i*pri[j]]=c[i]*pri[j]+1$,而$d[i]=c[i]*(c_1+1)*(c_2+1)*...$，所以此时，$s[i*pri[j]]$也相应转化就好了。
2. 若$i\%pri[j]!=0$,说明$pri[j]$是$i*pri[j]$的最小素因子，所以$c[i*pri[j]]=pri[j]+1$，对于$i$来说，相当于添了一个以前没有的素因子$pri[j]$，所以$s[i*pri[j]]=s[i]*(pri[j]+1)$.

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如果觉得我的四和五讲得不太清楚，安利一发大佬的博客

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2019.06.08