[笔记] 高数笔记

函数极限

设函数 (f(x)) 在点 (x_0) 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 (A) ，对于任意给定的正数 (varepsilon)（无论它多么小），总存在正数 (delta)，使得对于 (0<|x-x_0|<delta)，均有 (f(x)-A<varepsilon)，那么常数 (A) 就叫做函数 (f(x)) 当时 (x ightarrow x_0) 的极限，记作

[limlimits_{x ightarrow x_0} f(x)=A ]

夹逼定理：求函数的极限时，我们可以通过上界和下界两个函数去夹某个函数 (f(x)) ；如

[sin(x)<x< an(x)\ Rightarrow frac{sin(x)}{x}<frac{sin(x)}{sin(x)}=1,frac{sin(x)}{x}>frac{sin(x)}{ an(x)} =cos(x)\ Rightarrow limlimits_{x o 0} frac{sin(x)}{x}=1 ]

导数与斜率

斜率：对于一次函数 (y=kx+b) ，(k) 即为斜率；

导数：(f’(x)=limlimits_{Delta x o 0} frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}) ，也可记做 (frac{{ m d} x}{{ m d} y})

导数存在性：从左侧与右侧逼近极限相同时才可以定义导数 (limlimits_{Delta x o 0^+}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} = limlimits_{Delta x o 0^-}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x})

导数表：

导数运算法则：

[(u pm v)' = u' pm v'\ (uv)'= u'v + v'u\ (frac uv)'=frac{(u'v-v'u)}{v^2}\ (c cdot f(x))'=c cdot f'(x) \ (f(g(x)))'=f'(g(x)) cdot g'(x) ]

高阶导数：一阶导函数的导数称为二阶导数，二阶以上的导数可由归纳法逐阶定义。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。从概念上讲，高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算。

(f''(x_0)=lim limits_{Delta x o 0} frac{f'(x+x_0)-f'(x_0)}{Delta x}=lim limits_{Delta x o 0} frac{f(x_0+2Delta x)-2f(x_0+Delta x)+f(x_0)}{Delta x ^2})，记做 (frac{mathrm{d}^2 y }{mathrm{d}x^2}) 。

一阶导描述函数增减性，函数极值点一阶导为 (0) ；二阶导描述函数的凹凸性。

自然对数(e)：

(e=limlimits_{n o infty}(1+frac{1}{n})^n=2.718281828459cdots)

((e^x)'=e^x,(ln(x))'=frac{1}{x})

洛必达法则：

若 (f(x)) 和 (g(x)) 在 (a) 点处为 (0) ，即 (0/0) 类型

(limlimits_{x o a}frac{f(x)}{g(x)}=limlimits_{x o a} frac{frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=limlimits_{x o a}frac{f'(x)}{g'(x)})

牛顿迭代法：

求解 (f(x)=0) ：随机一个初始点，对于当前点求导，计算与 (x) 轴交点作为下一次的 (x_{next}) ，即

[x_{next}=x-frac{f(x)}{f'(x)} ]

当 (x<eps) 终止。

对于大部分函数有效；有些函数会失效，如 (f(x)=frac{1}{x}) (没有 (0) 点)；(f(x)=sqrt{|x|}) （来回横跳）

积分

定积分

(S=int_{a}^b f(x)mathrm{d}x)

黎曼积分，黎曼和： (S=limlimits_{n o infty} sumlimits_{k=1}^n f(k) imes (x_k-x_{k-1}))
这样我们可以方便的求定积分。

[egin{aligned} int_0^cx^2mathrm{d}x &=limlimits_{n o infty} sumlimits_{k=1}^n (kfrac{c}{n})^2 cdot frac{c}{n}\ &=limlimits_{n o infty} (frac{c}{n})^3 sumlimits_{k=1} k^2\ &=frac{c^3cdot ncdot (n+1) cdot (2n+1)}{n^3cdot 6}\ &=frac{c^3(2n^3-3n^3+n)}{6n^3}\ &=frac{c^3}{3}\ int_0^c x^nmathrm{d}x &=frac{c^{n+1}}{n+1} end{aligned} ]

积分与微分的关系：

[egin{aligned}\ int_a^b f'(x)mathrm{d}x &= limlimits_{n o infty}sumlimits_{0leq k<n}f'(x_k)mathrm{d}x\ &=limlimits_{n o infty}sumlimits_{0leq k<n}frac{f(x_{k+1})-f(x_k)}{x_{k+1}-x_k}(x_{k+1}-x_k)\ &=limlimits_{n o infty}sumlimits_{0leq k<n} f(x_{k+1})-f(x_k)\ &=limlimits_{n o infty}f(x_{n-1})-f(x_0)\ &=f(b)-f(a)\ &=f(x)|_a^b end{aligned}\ ]

即牛顿-莱布尼茨公式。

自适应辛普森积分法

详见

inline double f(double x) {}
inline double simpson(double l,double r) 
	{return (f(l)+4*f((l+r)/2)+f(r))*(r-l)/6;}
inline double integral(double l,double r,double ans) {
	register double md=(l+r)/2;
	register double LL=simpson(l,md),RR=simpson(md,r);
	if(fabs(LL+RR-ans)<=15*eps) return LL+RR-(LL+RR-ans)/15;
	return integral(l,md,LL)+integral(md,r,RR);
}

integral(l,r,simpson(l,r));

不定积分

[int f(x)mathrm{d}x=g(x)+c ]

积分表：

积分与无穷向量

对于一个函数 (f(x)) 可以理解为一个无穷维的向量，每个点的函数值是一个维度，那么两个函数 (f(x)) 和 (g(x)) 的内积就可以理解为 (int f(x)g(x)mathrm {d}x)

函数正交基：

对于线性空间的一组正交基，需要满足对于任意两个基向量 (A,B) 有 (Acdot B=0)

空间中一个点 (x) 在正交基 ({A}) 上的坐标为 (frac{Acdot x}{Acdot A})

施密特正交化：

大致就是如果两个向量 (Acdot B !=0) ，我们可以让 (B'=B-frac{|B|cos<A,B>}{|A|}A) 得到与 (A) 正交的向量 (B') 。

函数最优化

给定一多元函数 (f(x)→R)，(x) 为多个参数组成的向量，求 (f(x)) 最小值以及寻找使得函数值最小的向量 (x^{*})

迭代法（就是爬山算法）：初始随机一个点 (a)，随机一方向 (d) ，找一 (lambda) 使 (f(x+lambda d)) 变小，不断重复。

若 (f(x)) 存在导数，则有更好的方法：

偏导：对于二元函数 (f(x,y)) ，在 ((x0,y0)) 处固定 (y) 不变移动 (x) ，可以得到一个单变量函数 (g(x)) ，同理固定 (x) 不变可以得到 (h(y))；此时可以定义某一个方向的导数 (frac{partial f}{partial x}) ，(frac{partial f}{partial y})

梯度：( abla f(x,y)=(frac{partial f}{partial x},frac{partial f}{partial y}))

那么 (f(x+Delta x,y+Delta y)approx f(x,y)+frac{partial f}{partial x}Delta x+frac{partial f}{partial y}Delta y,|(Delta x,Delta y)| o 0且为定值) 。注意到后面的部分实际是一个点积，此时显然 ((Delta x,Delta y)) 与 ((frac{partial f}{partial x},frac{partial f}{partial y})) 共线时 (f(x+Delta x,y+Delta y)) 有最大值。

函数极值条件：函数取极值时一定要求切线水平（导数为 (0) ）；多元函数体现为各个方向偏导数均为 (0) （必要不充分条件，比如鞍点：(y=x^3,z=x^2-y^2) ）。

无约束函数极值

我们可以直接带入偏导数为 (0) 的极值条件解方程。

例:

求 (f(x)=(x_1-x_2-2)^2+(x_2-1)^2) 的最小值。

( abla f(x)=(frac{partial f}{partial x_1},frac{partial f}{partial x_2})=(2(x_1-x_2-2),-2(x_1-x_2-2)+2(x_2-1))=(0,0))

拉格朗日乘数法

设给定多元函数 (f(x)) 和附加条件 (varphi (x)=0) ，(x) 为向量，为寻找 (z=f(x)) 在附加条件下的极值点，**构造拉格朗日函数 (L(x,lambda)=f(x)+lambdavarphi(x)) **，为关于 (x) 向量与 (lambda) 向量的二元函数。

此时有 (minlimits_{x} f(x)=minlimits_{x}{ maxlimits_{lambda}(L(x,lambda)}=minlimits_{x}{maxlimits_{lambda}(f(x)+lambdavarphi(x))})

理解：首先我们要符合 (varphi(x)=0) ，否则当 (lambda o infty) 是 (minlimits_{x}{ maxlimits_{lambda}(L(x,lambda)} o infty) ，一定不是最终答案；然后在符合条件的函数中取个最值。

求解： (f(x)) 为最优的必要条件是拉格朗日函数 (L) 梯度为 (0) ：(left{ egin{matrix} abla_x L(x,lambda)=0\ abla_lambda L(x,lambda)=0\ end{matrix} ight.)

例：

求 ((x,y,z)) 使得 ((x-4)^2+y^2+z^2) 最小，并且 (x+y+z=3, 2x+y+z=4)

多项式逼近

泰勒展开

(f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + a_3(x - x_0)^3 + ...)

通常只关心 (x_0=0) 处的取值，得到麦克劳林公式：(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+cdots=sumlimits_k a_k x^k)

结论：对于大部分常见的好函数，这种展开都是存在的，而且是唯一的，并且对于全体实数全部成立的。

计算方法：(f^{(n)}=sumlimits_{kgeq n} frac{k!}{(k-n)!}a_k x^{k-n},a_n=frac{f^{(n)}(0)}{n!})

常见泰勒级数：

[egin{aligned}\e^x&=sumlimits_{n=0}^infty frac{x^n}{n!} &xin(-infty,+infty)\ln(x+1)&=sumlimits_{n=0}^infty frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1} &xin(-1,1]\sin(x)&=sumlimits_{n=0}^inftyfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} &xin (-infty,+infty)\cos(x)&=sumlimits_{n=0}^inftyfrac{(-1)^n}{2n!}x^{2n} &xin (-infty,+infty)\frac{1}{1-x}&=sumlimits_{n=0}^infty x^n &|x|<1\frac{1}{1+x}&=sumlimits_{n=0}^infty (-1)^nx^n &|x|<1\end{aligned}\ ]

欧拉公式

(e^{i heta}=cos( heta)+isin( heta)) （可以由上面的展开式看出）

特别地 (e^{ipi}=-1)

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2020.01.24