dtoj#4259. 越野赛车问题

题目描述：

小 $H$ 是一位优秀的越野赛车女选手。现在她准备在 $A$ 山上进行赛车训练。

$A$ 山上一共有 $n$ 个广场，编号依次为 $1$ 到 $n$ ，这些广场之间通过 $n-1$条双向车道直接或间接地连接在一起。对于每条车道$i$ ，可以用四个正整数 $u_i,v_i,l_i,r_i$描述，表示车道连接广场 $u_i$ 和 $v_i$ ，其速度承受区间为$[l_i,r_i]$，即汽车必须以不小于$l_i$ 且不大于 $r_i$ 的速度经过车道$i$ 。

小 $H$ 计划进行 $m$ 次训练，每次她需要选择 $A$ 山上的一条简单路径，然后在这条路径上行驶。但小 $H$ 不喜欢改变速度，所以每次训练时的车速都是固定的。

现在小 $H$ 告诉你她在$m$ 次训练中计划使用的车速，请帮助她对于每次训练，找到一条合法的路径（车速在所有车道的速度承受区间的交集内），使得路径上经过的车道数最大。

算法标签：线段树，可持久化并查集，动态维护树的直径，rmq

思路：

建一棵以 $l,r$ 为下标的线段树，把每条边放到区间里，每次对于这个区间的边连到图中，启发式合并，并查集不路径压缩。用一个栈记录下每层实现了那些修改，把被修改的数记录下来，之后推出这层时复原。

对于直径的维护，每次使两个连通分量连接，可以证明直径一定是由未合并前两个联通块的直径的端点连接组成。考虑对于至多四个点枚举两两之间的路径长度，得到新联通块的直径。求 $lca$ 用 $rmq$ 提前预处理。

以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
using namespace std;
const int N=7e4+5;
int top,mx[N],Ans,tot;
int d[N],id[N],rq[N<<1][20],sz[N],fa[N],p1[N],p2[N];
int n,m,head[N],ne[N<<1],to[N<<1],cnt,Lg[N<<1],res[N],gg[4];
vector<int> t[N<<2],s[N];
struct node{
    int x,y;
}g[N];
struct data{
    int x,y,len,p1,p2;
}q[N];
il int read(){
   int x,f=1;char ch;
   _(!)ch=='-'?f=-1:f;x=ch^48;
   _()x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
   return f*x;
}
il int Min(int x,int y){
    return d[x]<d[y]?x:y;
}
il void insert(int x,int y){
    ne[++cnt]=head[x];
    head[x]=cnt;to[cnt]=y;
}
il void ins(int x,int l,int r,int ql,int qr,int v){
    if(ql<=l&&r<=qr){t[x].push_back(v);return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    if(ql<=mid)ins(x<<1,l,mid,ql,qr,v);
    if(mid<qr)ins(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr,v);
}
il void dfs(int x,int fa){
    id[x]=++tot;rq[tot][0]=x;
    for(int i=head[x];i;i=ne[i]){
        if(fa==to[i])continue;
        d[to[i]]=d[x]+1;dfs(to[i],x);
        rq[++tot][0]=x;
    }
}
il int Lca(int x,int y){
    int l=id[x],r=id[y];
    if(l>r)swap(l,r);
    int k=Lg[r-l+1];
    return Min(rq[l][k],rq[r-(1<<k)+1][k]);
}
il int getfa(int x){
    return fa[x]==x?x:getfa(fa[x]);
}
il void add(int p){
    int x=g[p].x,y=g[p].y;
    int a=getfa(x),b=getfa(y);
    if(sz[a]<sz[b])swap(a,b),swap(x,y);
    q[++top]=(data){a,b,mx[a],p1[a],p2[a]};
    gg[0]=p1[a];gg[1]=p2[a];gg[2]=p1[b];gg[3]=p2[b];
    int maxn=-1,f1,f2;
    for(int i=0;i<4;i++){
        for(int j=i+1;j<4;j++){
            int lca=Lca(gg[i],gg[j]);
            int len=d[gg[i]]+d[gg[j]]-2*d[lca];
            if(len>maxn)maxn=len,f1=gg[i],f2=gg[j];
        }
    }
    p1[a]=f1;p2[a]=f2;mx[a]=maxn;fa[b]=a;sz[a]+=sz[b];
    Ans=max(Ans,maxn);
}
il void del(int p){
    while(top>p){
        int a=q[top].x,b=q[top].y;
        sz[a]-=sz[b];
        fa[b]=b;mx[a]=q[top].len;
        p1[a]=q[top].p1;p2[a]=q[top].p2;
        top--;
    }
}
il void solve(int x,int l,int r){
    int tmp=top,ret=Ans;
    for(int i=0;i<t[x].size();i++)add(t[x][i]);
    if(l==r){
        for(int i=0;i<s[l].size();i++)res[s[l][i]]=Ans;
        del(tmp);Ans=ret;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    solve(x<<1,l,mid);solve(x<<1|1,mid+1,r);
    del(tmp);Ans=ret;
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x=read(),y=read(),l=read(),r=read();
        insert(x,y);insert(y,x);g[i]=(node){x,y};
        ins(1,1,n,l,r,i);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=read();s[x].push_back(i);
    }
    d[1]=1;dfs(1,0);
    for(int i=2;i<=tot;i++)Lg[i]=Lg[i>>1]+1;
    for(int j=1;j<=Lg[tot];j++)for(int i=1;i+(1<<j)-1<=tot;i++)
        rq[i][j]=Min(rq[i][j-1],rq[i+(1<<(j-1))][j-1]);
    for(int i=1;i<=n;i++)sz[i]=1,fa[i]=p1[i]=p2[i]=i;
    solve(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d
",res[i]);
    return 0;
}