拉格朗日插值

拉格朗日插值负责搞这样一个问题：

有一个给了 n 个特定点值的 n - 1 次函数（并不给表达式），然后我随机给一个数，求其值。

如，给定 (1, 2), (4, 12), (123, 432) 的二次函数，求在函数上的点 (34433223, y) 的 (y) 的值。

方法

如果我们能构造一个函数，符合所有给定点都在函数图像上，那么该函数即为所求函数。

考虑类似中国剩余定理的方法：当我们带入其中一个点 (x_i) 的时候，要求 (y_i) 为给定值，那么我们考虑把对于每一个点的式子加一块，如果式子恰好是关于点 (i) 的，那么就让其值为给定的那个 (y_i)；否则让其为 (0)。

对于加粗部分如何实现？和CRT一样，我们构造一种连乘式，其中第 (i) 个连乘式恰好不包含 (x_i)。 对于第 (i) 个式子，我们让连乘式中所有的式子都为1；对于其它的式子，我们让连乘式中的某一项为0.

重点！！！

[Huge f(x) = sum_{i=1}^{n}y_i*prod_{1<=j<=n,j ot=i}frac{x-x_j}{x_i-x_j} ]

背过！！

假设我们给了个 (x_i)，那么当第一层循环不为 (i) 的时候，一定存在一个 (j)，使得 (x) 自己减自己，这样连乘式中一项为0，故有 (prod _ {j ot= i} x-x_j)；第一层循环到 (i) 的时候，要求那个连乘式一定为1，因此除一下 (x_i - x_j) 即可，即 (prod frac{x-x_j}{x_i-x_j})。

构造好式子以后，我们代入其它的 (x) 得到的 (y) 也就一定符合这个函数了。

单次复杂度：(O(n^2))

背过！！

[Huge f(x) = sum_{i=1}^{n}y_i*prod_{1<=j<=n,j ot=i}frac{x-x_j}{x_i-x_j} ]

例题

P4781 【模板】拉格朗日插值

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T130226 一起学习的日子（study）

题意：

求：

[sum_{i=0}^{n}sum_{j=1}^{a+i* d}sum_{l=1}^j{l^k} mod ~ 123 45 67 891 ]

其中 (k <= 3000,n,a,d<=1e9)

题解：

我们知道：

1 + 1 + 1 + ... + 1 可以表示为一次多项式(n)，

1 + 2 + 3 + ... + n 的值可以表示为二次多项式((n * (n + 1) / 2))；

(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) 可以表示为三次多项式（(n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6))。

那么我们猜测 (1^k + 2^k + ... + n^k) 可以表示为 (n + 1) 次多项式。

我们进而猜测：

(sum_{l=1}^j{l^k}) 为 (k + 1) 次多项式；----①

(sum_{j=1}^{i}sum_{l=1}^j{l^k}) 是 (k + 2) 次多项式；------②

(sum_{i=0}^{n}sum_{j=1}^{a+i* d}sum_{l=1}^j{l^k}) 是 (k + 3) 次多项式。-----③

我们还发现，①②的计算方法不是很复杂，也就是说，算出②的拉格朗日插值的表达式所需的(k+...) 个 ((x_i, y_i)) 其实可以直接暴力前缀和算出。而③不行。因此我们对于③，使用拉格朗日插值依次算出其前 (k + 4) 个值，然后再用拉格朗日插值算出第 (n) 项的值。

复杂度： (O(k^3))。

优化：因为 (x_i = i)，我们发现那个连乘式的分子和分母对于不同的 (i) 有大量重复，分母本质上是两个阶乘（分正负数讨论），分子可以直接预处理出前缀积和后缀积。然后拉格朗日插值优化为单次 (O(n))。

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CF622F The Sum of the k-th Powers

经典问题:O(klogP)求 (sum_{i=1}^{n}i^k)。方法和优化同上。

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P4593 [TJOI2018]教科书般的亵渎

转化后转变成求 (sum_{i=1}^{n}i^k) 的问题。

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注意：

一定记得对负数进行 +P！！！