[备忘，无新意] undistort （求反函数对某个值的映射）使用迭代优化方法

相机内参数优化中构建的模型需要使用到 distort 过程，是将相机归一化平面直角坐标系上的点（即相机坐标系 Z = 1 上的坐标）进行畸变的过程。之后使用相机内参矩阵变换为 uv 坐标。

undistort 过程一般应用中难以用到，所以一直没有注意。distort 过程的逆映射就是 undistort 过程。从数学公式上，这个函数是不可逆的，所以处理起来有些麻烦。

最近关注到这个问题，参考 kalibr 的代码 RadialTangentialDistortion::undistort，突然就看不懂这个代码了。数学基础不够扎实，方向错误，从 Inverse function theorem 处思考。从公式 ( ef{inv_deri}) 着手思考，参考迭代计算平方根的代码，发现如何都不能得到结果。

[egin{align} { ext{d} x over ext{d} y} = {1 over { ext{d} y over ext{d} x}} label{inv_deri} end{align}]

于是转换方向。代码中的 (F.transpose() * F).inverse() * F.transpose() * e; 像是在优化，毕竟这个函数最明显的特征是迭代，这就是优化。于是参考以前用于理解优化理论的 MVG 书的 Appendix 6 Iterative Estimation Methods，得到结果。

最优化理论，就是一个通用的反函数方法，不求反函数的 closed-form，而求值域中一点对应的定义域中的点。

现在描述一遍 MVG 数 A6.1 Newton iteration，以为我自己加深印象，备查。

假设有观察值 (mathbf{X}) 是由某些变量的值 (mathbf{P}) 经过映射 (f) 得到的，可以写作 (mathbf{X} = f(mathbf{P}))，要对 (mathbf{P}) 进行估计，估计值为 (hat{mathbf{P}})，标准是误差 (f(hat{mathbf{P}}) - mathbf{X} = mathbf{epsilon}) 的模 (|mathbf{epsilon}|) 最小化。

用迭代的方法做，选取一个初始值 (mathbf{P}_0)，此时的误差 (mathbf{epsilon}_0 = f(mathbf{P}_0) - mathbf{X}) 最小化。接下来我们要在 (mathbf{P}_0) 的附近选取一个新的值 (mathbf{P}_1 = mathbf{P}_0 + mathbf{Delta})，使得 (|mathbf{epsilon}_1|) 最小化。(mathbf{P}_1) 在 (mathbf{P}_0) 的附近，所以可以用泰勒展开将 (f(mathbf{P}_1)) 与 (f(mathbf{P}_0)) 联系起来，(f(mathbf{P}_1) = f(mathbf{P}_0 + mathbf{Delta}) = f(mathbf{P}_0) + mathbf{J}mathbf{Delta})。所以有 (mathbf{epsilon}_1 = f(mathbf{P}_1) - mathbf{X} = f(mathbf{P}_0) + mathbf{J}mathbf{Delta} - mathbf{X} = mathbf{epsilon}_0 + mathbf{J}mathbf{Delta})，通过选择 (mathbf{Delta}) 最小化 (|mathbf{epsilon}_0 + mathbf{J}mathbf{Delta}|)，也就是最小化 ((mathbf{epsilon}_0 + mathbf{J}mathbf{Delta})^T(mathbf{epsilon}_0 + mathbf{J}mathbf{Delta}))，接下来就是最小二乘法，通过求导使得导数等于 0，可以解算得到 (mathbf{Delta})。每次都使得 (mathbf{epsilon}) 降低，最终收敛，可以得到 (hat{mathbf{P}})。求导参考 矩阵求导的思考。