数据结构树状数组（二）

复习笔记-树状数组（二）

树状数组（一）

略微进阶的操作

在树状数组（一）中，身为懒得打线段树（有时候都未必会打）的蒟蒻，我安利了一波树状数组，并且介绍了区间查询和单点修改的基本操作。那么，对基础的树状数组进行一些修改，结合差分，就可以同时进行区间修改和单点查询。

差分数组

存储方式

差分数组是相较于前缀和的一种截然相反的存储方式，前缀和的每个数表示原数组的前缀和，而差分数组的每个数表示原数组这个数和上一个数的差，也就是说

C₁=A₁

C_x=A_x-A_x-1

那么容易推出

C₁+C₂+...+C_m=A_m

也就是说，差分数组元素的前缀和等于原数组该元素的值，这就是我说它与前缀和截然相反的第一个原因。

优势

差分数组由于每个数存的是与上一个数的差，可以理解成存的是数据的波动。那么，需要区间修改时，也就相当于区间内波动不变，区间左端波动上升，区间右端波动下降。这样就可以用O（1）复杂度完成区间修改。也就是说

如果把第x到第y加上k，只需要把差分数组第x个元素+k，第y+1个元素-k，就相当于完成了区间修改，只需要修改两处。

这是差分数组的修改的基础代码

void add(int x,int y,int k){
    c[x] += k;
    c[y + 1] -= k;
}

综上，差分数组可以O（1）完成区间修改。由于前缀和可以O（1）完成区间查询，这就是我说这两者相反的第二个原因

差分数组与树状数组的结合

上面我叭叭了半天差分数组不是瞎叭叭，而是要与树状数组进行结合。

差分数组与树状数组特点对比：

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差分数组：前缀和表示原数，可以用两次单点修改完成区间修改

树状数组：可以快速进行单点修改和查询前缀和

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对比以上，不难想到，如果对差分数组建立树状数组，就可以对差分数组进行前缀和查询达到单点查询的目的，运用两次单点修改来完成区间修改的目的

例题与程序实现

P3368

这道模板题要求完成区间修改和单点查询

那么利用差分数组与树状数组的结合，就可以这样完成

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int n,m,l,r,x;
    long long c[500010],k,a;
    int lowbit(int x){
        return x&(-x);
    }
    void add(int x,long long y){
        while(x<=n){
            c[x]+=y;
            x+=lowbit(x);
        }
    }
    long long sum(int x){
        long long cnt=0;
        while(x){
            cnt+=c[x];
            x-=lowbit(x);
        }
        return cnt; 
    }
    int main(){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        long long now=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&a);
            add(i,a-now);
            now=a;
        }
        while(m--){
            scanf("%d",&x);
            if(x==1){
                scanf("%d%d%lld",&l,&r,&k);
                add(l,k);
                add(r+1,-k);
            }
            else{
                int s;
                scanf("%d",&s);
                printf("%lld\n",sum(s));
            }
        }
        return 0;
}