算数基本定理与质因数分解

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算数基本定理

算术基本定理可以表述为：对任意大于 (1) 的自然数，若不为质数，则一定能且只能写成一种有限个质数乘积的形式

或者可以表述为：对 (forall nin N) 且 (n>1) ，对所有的 (m) 个小于等于 (n) 质数 (p_{1cdots m}) ，(displaystyle n=prod_{i=1}^mp_i^{c_i},p_iin Prime,c_iin N) 存在且唯一存在

证明

我们用归纳法证明：考虑合数 (n) ，假设 (n) 以内的数要么都是质数，要么所有合数都符合上述定理

当 (n) 为最小的合数 (4) 时，(n=2 imes 2=2^2) 符合上述定理

其它情况下，因为 (n) 为合数，所以一定存在 (a,bin N) 且 (1<aleq b<n) 使得 (n=a imes b)

设一共有 (m) 个小于等于 (n) 的质数 (p_{1cdots m})

由于 (a<n) 因此 (a) 符合上述定理

故 (a) 可唯一地写作 (displaystyle a=prod_{i=1}^{m_a}p_i^{ca_i},p_iin Prime,c_iin N)

(ecause a<n)

( herefore m_aleq m)

( herefore a) 可唯一地写作 (displaystyle a=prod_{i=1}^{m_a}p_i^{ca_i}cdotprod_{i=m_a+1}^mp_i^0,p_iin Prime,c_iin N)

我们令 (d_i=egin{cases} ca_i,0<ileq m_a \ \ 0,m_a<ileq m end{cases})

故 (a) 可唯一地写作 (displaystyle a=prod_{i=1}^mp_i^{d_i},p_iin Prime,d_iin N)

同理，我们可以将 (b) 唯一地写作 (displaystyle b=prod_{i=1}^mp_i^{e_i},p_iin Prime,e_iin N)

因此 (n) 可唯一地写作 (displaystyle n=a imes b=prod_{i=1}^mp_i^{d_i}cdotprod_{i=1}^mp_i^{e_i}=prod_{i=1}^mp_i^{d_i+e_i},p_iin Prime,d_iin N,e_iin N)

令 (c_i=d_i+e_i) 因此，证得上述结论

综上，算术基本定理得证

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质因数分解 (O(n))

由算数基本定理，我们得到，一个大于 (1) 的自然数，一定能分解为若干个质数的乘积

下面我们来具体考虑如何划分：

首先，定理的成立表明：对 (n) 以内的 (m) 个质数 (p_{1cdots m}) ，保证 (n=prod_{i=1}^mp_i^{c_i},p_iin Prime,c_iin N) 这一等式中的 (c_i) 都是唯一确定的

因此，将 (n) 划分为质数，即求出 (c_{1cdots m})

首先，十分显然：我们可以花费 (O(n)) 的时间筛出 (n) 以内的质数，然后一个一个去实验

int prime[MAXN],cntprime=0,c[MAXN]={0};
sieve_prime(int n){
    ...
}
...
sieve_prime(n);
int copy=n;
for(int i=1;i<=cntprime;i++){
    if(copy%prime[i]!=0) continue;
    while(copy%prime[i]==0){
        copy/=prime[i];
        c[i]++;
    }
}

(n) 以内的质数个数大概 ({nover ln n}) 个，每个质因数被除的内存循环，复杂度为 (o(log n))

因此，分解的复杂度为 (o(n)) ，加上前面筛素数，总复杂度 (O(n))

优化 (O(sqrt n))

通过细心观察可以发现：对于大于等于 (sqrt n) 的质因数，一定不会存在超过一个

若存在两个大于等于 (sqrt n) 的质因数，设它们分别为 (p_a,p_b,p_aleq p_b)

单这两个质因数的乘积 (p_a imes p_bleq sqrt n imes sqrt n=n) 就注定了不可能同时是 (n) 的因数

因此大于等于 (sqrt n) 的质因数，一定不会存在超过一个

所以我们只需要花费 (O(sqrt n)) 将 (sqrt n) 以内的质数筛出来，然后重复上述操作

最后得到的如果是 (1) ，则代表没有大于 (sqrt n) 的质因数；否则，剩下的本身就是质因数

int prime[MAXN],cntprime=0,c[MAXN]={0};
sieve_prime(int n){
    ...
}
...
sieve_prime( (int)sqrt(n) );//或者在函数里面改为 i*i<=n
int copy=n;
for(int i=1;i<=cntprime;i++){
    if(copy%prime[i]!=0) continue;
    while(copy%prime[i]==0){
        copy/=prime[i];
        c[i]++;
    }
}
if(copy!=1){
    prime[++cntprime]=copy;
    c[cntprime]++;
}

因为 (sqrt n) 以内的质数个数大概 ({sqrt nover ln{sqrt n}}={2sqrt noverln n})，每个质数的复杂度为 (o(log n))

因此分解的复杂度为 (o(sqrt n)) ，加上筛质数的复杂度

总复杂度 (O(sqrt n))