裴属定理与拓展欧几里得算法

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裴属定理

裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，其形式上可以表现为：

对于 (forall a,bin Z_+) ，设 (d=gcd(a,b))

则一定存在 (x,yin Z_+) 使得： (ax+by=d)

证明：

设存在 (x,yin Z_+) 使得 (ax+by=d) 成立

由 (ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,amod b)=gcd(b,a-(a/b)cdot b)) 得到

(ax+by=bx'+[a-(a/b)cdot b]y'=ay'-b(x'-(a/b)cdot y'))

因此得到：若 (b) 与 (amod b) 存在解 (bx'+(amod b)y'=gcd(b,amod b)=d)

则存在 (x,y)

又因为将该过程视为递归，则递归的边界为 (a''=gcd(a,b),b''=0) 显然有解 (x''=1,y''=0)

因此存在 (x,y)

裴属定理的推论

由于存在 (ax+by=gcd(a,b))

故对 (forall kin Z_+) 都存在 (X,Yin Z_+) 使得 (aX+bY=kcdot gcd(a,b))

证明：

设 (x,yin Z_+) 使得 (ax+by=gcd(a,b))

令 (X=kx,Y=ky) 得到 (aX+bY=akx+bky=k(ax+by)=kcdot gcd(a,b))

裴属定理的推广形式

存在 (x_{1dots n}in Z_+) 使得 (displaystyle sum_{i=1}^na_ix_i= ext{gcd}_{i=1}^n a_i)

其中 ( ext{gcd}_{i=1}^n a_i) 表示 (a_{1dots n}) 的最大公因数

证明： (n=2) 我们已经证明

设 (n=k) 时成立， (d= ext{gcd}_{i=1}^k a_i)

则存在 (x'_{1dots k}) 使得 (displaystyle sum_{i=1}^ka_ix'_i=d)

由于存在 (c,x_{k+1}in Z_+) 使得 (cd+a_{k+1}x_{k+1}=gcd(d,a_{k+1}))

令 (x_i=cx'_i,iin[1,k]igcap Z) 得到 (displaystyle sum_{i=1}^{k+1} a_ix_i=gcd(d,a_{k+1}))

设 (c_i) 为 (a_{1dots k}) 第 (i) 个因数的次数的最小值， (d_i) 为 (a_{k+1}) 的第 (i) 个因数的次数 ，则 (displaystyle d=prod_{i=1}^mp_i^{c_i})

因此 (displaystyle gcd(d,a_{k+1})=prod_{i=1}^mp_i^{min(c_i,d_i)}= ext{gcd}_{i=1}^{k+1} a_i)

故原命题得证

同时，我们也得到很重要的性质：

( ext{gcd}_{i=1}^n a_i=gcd( ext{gcd}_{i=1}^{n-1} a_i,a_n))

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拓展欧几里得算法

由上面的方法，我们发现，实际上 (x,y) 是事实可求的值

由递归过程：

(egin{cases} a=b \ \ b=amod b \ \ x=y' \ \ y=x'-(a/b)cdot y' end{cases})

递归边界为：

(egin{cases} a \ \ b=0 \ \ x=1 \ \ y=0 end{cases})

因此写出代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int g=exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*x;
    return g;
}

或者有人会发现，实际上递归式中的 (x,y) 可以理解为：

先 (x,y) 交换，然后 (y-=(a/b)cdot x)

因此非递归写为：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    int m=b,tmp[10000]={0},cur=1;
    x=1,y=0;
    tmp[0]=a/b;
    while(b^=a^=b^=a%=b) tmp[cur++]=a/b;
    while(cur--) y^=x^=y^=x-=tmp[cur]*y;
    return a;
}