题解 hdu 4336 Card Collector

传送门

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【大意】

有 (N) 种牌，每秒有 (p_i) 的概率获得其中的第 (i) 张。问所有卡牌都获得的概率。

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【分析】

令 (max(S)) 表示获得集合 (S) 的最后一张卡牌时间的随机变量

令 (min(S)) 表示获得集合 (S) 的第一张卡牌时间的随机变量

由扩展 min-max 容斥得 (displaystyle E( ext{k-thmax}(S))=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-k}inom{|T|-1}{k-1}E(min(S)))

故 (displaystyle E(max(S))=sum_{varnothing subset Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}E(min(S)))

因为 (displaystyle P(min(S)=k)=(sum_{iin S}p_i)cdot (1-sum_{iin S}p_i)^{k-1})

故 (displaystyle E(min(S))=sum_{k=1}^{infty} kcdot P(min(S)=k)) ，求和得 (displaystyle {1over sum_{iin S}p_i})

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【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pii;
typedef double db;
#define fi first
#define se second

bool eps=1e-6;
inline int sgn(db x) { return (x>eps)-(x<-eps); }

int n;
db p[1<<20];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    while( cin>>n ){
        for(int i=0;i<n;++i) cin>>p[1<<i];
        for(int i=1;i<1<<n;++i) if(i&(i-1))
            p[i]=p[i-(i&-i)]+p[i&-i];

        db res=0;
        for(int i=1;i<1<<n;++i) 
            if(__builtin_popcount(i)&1) res+=1/p[i];
            else res-=1/p[i];
        cout<<fixed<<setprecision(9)<<res<<"
";
    }
    cout.flush();
    return 0;
}