推导 一个 圆锥 的 体积

我们来 推导 一个 圆锥 的 体积  。

 

一个 圆锥 可以看成是 由 很多 小圆盘 堆叠 起来 的，   小圆盘 很 薄，   随着 高度 升高，  小圆盘 的 直径 越来越小，

 

设 一个 圆锥 的 底 的 半径 为 r，   高 为 H，  体积 为 V，      则 体积 可以写成 积分

 

V =  ʃ  小圆盘体积

 

当 高 为 h 时，  小圆盘 的 半径 为  r / H * h  ，  设 小圆盘 高 dh，   小圆盘体积  =   π ( r / H * h ) ²   *   dh   ，  于是 ，

 

V =  ʃ  小圆盘体积

=  ʃ   π ( r / H * h ) ²   *   dh  

=  ʃ   π  r² / H² * h²   *   dh  

=  π  r² / H²  *   ʃ  h²  dh  

=   π  r² / H²   *   1/3 h³

=  1/3  π  r² / H²  *  h³

 

这是 不定积分，    实际上 的 体积 是 求 h 在  [ 0 , H ] 区间 上的 定积分 ，   所以，

 

V = 1/3  π  r² / H²  *  H³   -   1/3  π  r² / H²  *  0³ 

= 1/3  π  r²  H  -  0

= 1/3  π  r²  H

 

所以， 圆锥体积  =  1/3 * 底面积 * 高     。

 

嗯 ？  这就 完事 了 ？   我还以为 要 二重积分 呢    。