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  • 在 兄弟们我挡不住了 中 的 回复

    有 网友 在 数学吧 发了一个 帖 《兄弟们我挡不住了》  http://tieba.baidu.com/p/6462243090    ,  里面 提出了 3 道 题 ,

     

     

       

     

     

     

    以下 是 在 帖 里 的 回复 :

     

    4 楼

    做了一下 第 9 题,

    因为 是 分段函数, 为了 叙述方便, 将 第一段 记为 f1(x) , 第二段 记为 f2(x) 。

    同样, 导数 也写成 2 个: f1 ′ (x) 、 f2 ′ (x) 

     

    先求 导数 , 

     

    f1 ′ (x) = x ² - 2 x t ² + 2 x t - 4x + t , x < 1 ,

    f2 ′ (x) = 2 x t ² + t + 1 , x >= 1


    可以 先让 f2 ′ (x1) = f2 ′ (x2) , 看 满足 这一等式 的 t 存不存在, 于是,

     

    2 x1 t ² + t + 1 = 2 x2 t ² + t + 1 , x1, x2 >= 1 , x1 != x2

     

    可以知道, 要 使 等式 成立, t = 0,

    当 t = 0 时, f2(x) = 0 ² x ² + ( 0 + 1 ) x = x , x >= 1 ,

    即 f2(x) = x , x >= 1 

    这是一个 最简单 的 正比例函数, 函数直线 上 任一点 的 斜率 都一样, 就是说, 对于 任意 的 x1,

    有无数个 x2 的 导数 和 x1 的 导数 一样 , 所以 不满足 题目要求 。

    所以, t != 0 ,

     

    在 t != 0 的 前提 下, 再继续看 ,

     

    接下来, 再 让 f1 ′ (x1) = f2 ′ (x2) , 可以把 x1, x2 看作 常量, t 为 未知数, 这是一个 t 的 一元二次方程, 根据 一元二次方程 求根公式 写出 t 的 表达式 t = g (x1, x2) ,

    题目要求, 对于 任意 x1, 要有 x1 != x2 且 x2 是 唯一 的, x1 和 x2 的 导数相等,

    这就表示 每一对 满足 条件 的 (x1, x2) 都是 唯一的, 不等的, 每一对 的 x1 和 其它对 的 x1 不相等, 每一对 的 x2 和 其它对 的 x2 也不相等 。

    这就要求, t = g(x1, x2) 对于 任意不同 的 (x1, x2) , 得到的 t 必须是 同一个,

    就是说, 无论 取 怎样 的 (x1, x2) , t = g(x1, x2) 计算出的 t 都 相等,

    根据 g(x1, x2) 表达式(此略) 可以看出来, 这是 不可能 的 。

     

    再看 f2 ′ (x1) = f1 ′ (x2) , 同理, 取任意 的 (x1, x2) , 计算出的 t 都 相等 是 不可能 的,

    再看 f1 ′ (x1) = f1 ′ (x2) , 同理, 取任意 的 (x1, x2) , 计算出的 t 都 相等 是 不可能 的,

     

    所以, 满足 题目要求 的 t 不存在, 选 A 不存在 。

     

    不知道 这样 对不对 ? 这道题 就算 不假思索 的 做, 也要 10 分钟, 这是 选择题 吗 ? 呵呵 。

     

    K歌之王: 6 楼 还有 纠正补充 。

     

    6 楼

    接 4 楼, 纠正一下, f2 ′ (x1) = f2 ′ (x2) 时 得出的 t != 0 不能作为 后面 f1 ′ (x1) = f2 ′ (x2) , f2 ′ (x1) = f1 ′ (x2) , f1 ′ (x1) = f1 ′ (x2) 三种情况 的 前提条件 。

     

    对于 这个 分段函数, 要 满足 f ′ (x1) = f ′ (x2) , 可以有 4 种 方式 :

     

    第一种 : f1 ′ (x1) = f1 ′ (x2) , f1 ′ (x1) = f2 ′ (x2) ;

    第二种 : f2 ′ (x1) = f2 ′ (x2) , f2 ′ (x1) = f1 ′ (x2) ;

    第三种 : f1 ′ (x1) = f2 ′ (x2) , f2 ′ (x1) = f1 ′ (x2) ;

    第四种 : f1 ′ (x1) = f1 ′ (x2) , f2 ′ (x1) = f2 ′ (x2) ;

     

    因为 f2 ′ (x1) = f2 ′ (x2) 不成立, 所以 第二 、第四 种 不成立, 就不用考虑了,

    只要 考虑 第一 、第三 种 就行 。

     

    上面 的 考虑 方式 也不对, 应该 是 把 比如 f1 ′ (x1) = f2 ′ (x2) 这样的 等式 看作是 x2 为 未知数 的 一元二次方程, t 、x1 为 常量, 来 判断 方程 的 根 x2 是否唯一, 如果 方程 的 根 唯一, 表示 对于 一个 x1, 只有一个 x2 , 但这也不是确定的,这还要看 根 的 表达式, 对于 不同的 x1 , 是否 一定 得出 不同 的 x2, 在这过程中, 再 判断 t 起到 的 作用, 看 t 会否 对 x2 的 唯一性 产生 影响, 如此 来 判断 t 是否存在, 有 一个,二个,或 无数个 。

     

    K歌之王: “上面 的 考虑 方式 也不对” 是指 4 楼 的 考虑 方式 不对 。 考虑 满足 x2 唯一时 t 是否存在 的 思路 不对 。

     

    8 楼

    接 6 楼, 4 楼 6 楼 判断 t 是否存在 的 思路 考虑到了一些东西, 但是 还没有 说到 点子 上,

     

    正确 的 方法 应该是, 画出 f1′ (x) 和 f2 ′ (x) 的 函数曲线, 然后 观察 过 y 轴 上 任意 一点 的 一条直线 L 与 函数曲线 的 交点 有几个, 如果 有且只有 2 个 交点, 则 满足 题目要求, 

    如果 有 交点 但是 只有一个 或者 大于 2 个, 则 不满足 题目要求 。

    没有 交点 的 情况 不用 考虑 。

     

    K歌之王: 观察 t 要怎么样 才 满足 有且只有 2 个 交点 的 要求 。

     

    9 楼

    接 8 楼, 

    f1 ′ (x) = x ² - (2 t ² - 2 t + 4 ) x + t , x < 1 ,

    f2 ′ (x) = 2 t ² x + t + 1 , x >= 1

     

    当 t = 0 时, f2 ′ (x) 是 一条 平行于 x 轴 的 直线, 对于 任意 的 x1, 有 无数个 x2 使得 f2 ′ (x1) = f2 ′ (x2) , 不满足 题目 要求 。

     

    当 t != 0 时, f1 ′ (x) 是 二次函数抛物线,开口朝上, f2 ′ (x) 是 一次函数 直线, 因为 2 t ² > 0 , 所以,是 从 左下向右上 上升 的 直线 。

     

    我们来看看 f1 ′ (x) 和 f2 ′ (x) 组成 的 f ′ (x) 函数图像 :

    蓝色曲线 是 f1 ′ (x) , 橙色直线 是 f2 ′ (x) , 红色直线 是 平行于 x 轴 的 直线 L 。

     

    这是一种 情况, 图中 L 与 f ′ (x) 有 2 个 交点, 但是 对于 底端 的 顶点, 此处 L 只可能与 f ′ (x) 有 1 个 交点 即 顶点, 故 不符合 题目条件 。 未完,接楼下 。

     

    10 楼

    接 9 楼,

    再看一种情况, 这种 情况 中间 空 的 一段 L 只能与 f ′ (x) 有 1 个 交点, 也不符合 题目条件 。

     

     

    11 楼

    接 10 楼,

    这种 情况 L 与 f ′ (x) 有 3 个 交点, 也不符合 题目条件 。

     

     

    12 楼

    接 11 楼,

    这种情况 仍然 是 底端 顶点 处 L 只可能与 f ′ (x) 有 1 个 交点, 不符合 题目条件 。

     

     

    13 楼

    接 12 楼, 所以, 无论 t 取 什么值, 都 不符合 题目条件, 所以, 满足条件 的 t 不存在, 选 A 不存在 。

     

    这题 是 数学分析 题, 可以算是 数学分析 的 范畴, 也可以说是 数学分析 的 萌芽 。      花留前辈

     

    花留前辈: 亮爆我眼睛了。

     

     

    16 楼            (这是 另外一个 网友 的 解法)

     

    熊猫眼Shinobi :

     

     

     

     

     

     

    以上 是 帖 中 的 回复   。       

     

    另外 2 题 的 解答 在 《在 兄弟们我挡不住了 中 的 回复 续》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12250301.html    。

     

     

    下面 是 我之前 把   f2 (x)  当成   f2 ′ (x)   了,  这样  f2 ′ (x)    就成了 二次函数,  然后 我分析  f1 ′ (x)  、f2 ′ (x)   组成的  f ′ (x)  是否 满足 和 平行 x 轴 的 直线 L 有且只有 2 个 交点 的 条件  的  草图 ,   也保留在这里了    。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12238161.html
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