第 19 讲 ----------------------------------------------
分部积分法
先推导 分部积分公式
根据 导数 的 乘法 公式 ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ ，
( u v ) ′ = u ′ v + u v ′
两边 对 dx 积分， ʃ ( u v ) ′ dx = ʃ u ′ v dx + ʃ u v ′ dx
u v = ʃ u ′ v dx + ʃ u v ′ dx
ʃ u v ′ dx = u v - ʃ u ′ v dx
即 ʃ u v ′ dx = u v - ʃ u ′ v dx ， 这就是 分部积分公式 。
可以看到， 分部积分公式 可以把 ʃ u v ′ dx 转换成 求 ʃ u ′ v dx ， 也就是说， 当 求 ʃ u v ′ dx 困难， 求 ʃ u ′ v dx 容易 时， 可以用 分部积分公式 把 ʃ u v ′ dx 转换成 ʃ u ′ v dx 来 求积分 。
这就是 分部积分法 。
第 20 讲 ----------------------------------------------
介绍一种 常见 的 换元积分法， 这种换元法 称为 第一类换元法 。
原理是这样， 比如， 对 y = f (x) 积分， 如果 f (x) 可以 变换为 g ( Ф(x) ) Ф ′ (x) 的 形式， 即 f (x) = g ( Ф(x) ) Ф ′ (x) ， 那么
ʃ f (x) dx = ʃ g ( Ф(x) ) Ф ′ (x) dx
根据 导数 的 定义， Ф ′ (x) = d ( Ф(x) ) / dx ， 可推出 d ( Ф(x) ) = Ф ′ (x) dx ， 于是，
ʃ f (x) dx = ʃ g ( Ф(x) ) Ф ′ (x) dx
= ʃ g ( Ф(x) ) d ( Ф(x) )
即 ʃ f (x) dx = ʃ g ( Ф(x) ) d ( Ф(x) )
设 u = Ф(x) ， 也可以写成 ʃ f (x) dx = ʃ g ( u ) du 。
也可以说， 设 u = Ф(x) ， 如果 f (x) = g ( u ) u ′ dx ， 则 ʃ f (x) dx = ʃ g ( u ) u ′ dx ，
因为 du = u ′ dx ， 所以
ʃ f (x) dx = ʃ g ( u ) u ′ dx = ʃ g ( u ) du
即 ʃ f (x) dx = ʃ g ( u ) du ， u = Ф(x) ， f (x) = g ( u ) u ′ dx
这就是 第一类换元法 。
“第一类” 的 意思 大概 是 最常见， 最优先考虑 的 意思 吧 ， 哈哈 。
简单的例子 ， 比如 求 y = ( 2x + 1 ) 开方 的 积分 ，
因为 2x + 1 的 导数 ( 2x + 1 ) ′ = 2 ， 所以， 可以 把 y = ( 2x + 1 ) 开方 变换为
y = ( 2x + 1 ) 开方 = 1/2 * ( 2x + 1 ) 开方 * 2
ʃ ( 2x + 1 ) 开方 dx = ʃ 1/2 * ( 2x + 1 ) 开方 * 2 dx
设 u = 2x + 1， 则 u ′ = 2， 2 dx = du，
ʃ ( 2x + 1 ) 开方 dx = ʃ 1/2 * ( 2x + 1 ) 开方 * 2 dx
= ʃ 1/2 * ( u ) 开方 du
= 1/2 * ʃ ( u ) 开方 du
= 1/2 * 2/3 * ( u ) 3/2 次方
= 1/3 * ( 2x + 1) 3/2 次方
即 ʃ ( 2x + 1 ) 开方 dx = 1/3 * ( 2x + 1) 3/2 次方
第 21 讲 ----------------------------------------------
在 第 19 讲 介绍 了 分部积分法 ， 我们 来看一个 简单 的 例子 。
比如， 求 y = x ( 2x + 1 ) 开方 的 积分 ， 也可以用 分部积分法 。
根据 分部积分公式 ʃ u v ′ dx = u v - ʃ u ′ v dx ，
设 u = x ， v ′ = ( 2x + 1 ) 开方 ， 则 v = ʃ v ′ dx = ʃ ( 2x + 1 ) 开方 dx ，
在 第 20 讲 中， 用 换元积分法 求得 了 ʃ ( 2x + 1 ) 开方 dx = 1/3 * ( 2x + 1) 3/2 次方 ，
所以， v = 1/3 * ( 2x + 1) 3/2 次方 ， 另外， u ′ = ( x ) ′ = 1 ，
于是， ʃ x ( 2x + 1 ) 开方 dx = ʃ u v ′ = u v - ʃ u ′ v dx
= x * 1/3 * ( 2x + 1) 3/2 次方 - ʃ 1 * 1/3 * ( 2x + 1) 3/2 次方 dx
= 1/3 * x * ( 2x + 1) 3/2 次方 - 1/3 ʃ ( 2x + 1) 3/2 次方 dx
即 ʃ x ( 2x + 1 ) 开方 dx = 1/3 * x * ( 2x + 1) 3/2 次方 - 1/3 ʃ ( 2x + 1) 3/2 次方 dx (1) 式
对 ʃ ( 2x + 1) 3/2 次方 dx 再用一次 换元积分法， 设 u = 2x + 1 ， 则 u ′ = 2 ， 2 dx = du ，
ʃ ( 2x + 1) 3/2 次方 dx = ʃ 1/2 * ( 2x + 1) 3/2 次方 * 2 dx
= ʃ 1/2 * ( u ) 3/2 次方 du
= 1/2 ʃ ( u ) 3/2 次方 du
= 1/2 * 2/5 * ( u ) 5/2 次方
= 1/5 * ( 2x + 1 ) 5/2 次方
(1) 式 = 1/3 * x * ( 2x + 1 ) 3/2 次方 - 1/3 ʃ ( 2x + 1 ) 3/2 次方 dx
= 1/3 * x * ( 2x + 1 ) 3/2 次方 - 1/3 * 1/5 * ( 2x + 1 ) 5/2 次方
= 1/3 * x * ( 2x + 1 ) 3/2 次方 - 1/15 ( 2x + 1 ) 5/2 次方
即 ʃ x ( 2x + 1 ) 开方 dx = 1/3 * x * ( 2x + 1 ) 3/2 次方 - 1/15 ( 2x + 1 ) 5/2 次方
可以用 求导 对 结果 验算 ，
[ 1/3 * x * ( 2x + 1 ) 3/2 次方 - 1/15 ( 2x + 1 ) 5/2 次方 ] ′
= 1/3 [ x * ( 2x + 1 ) 3/2 次方 ] ′ - 1/15 [ ( 2x + 1 ) 5/2 次方 ] ′
= 1/3 { x ′ * ( 2x + 1 ) 3/2 次方 + x * [ ( 2x + 1 ) 3/2 次方 ] ′ } - 1/15 [ ( 2x + 1 ) 5/2 次方 ] ′ (2) 式
求 [ ( 2x + 1 ) 3/2 次方 ] ′ 和 [ ( 2x + 1 ) 5/2 次方 ] ′ 要用到 第 18 讲 介绍的 复合求导公式 。
设 u = 2x + 1 ， 则 u ′ = 2 ，
[ ( 2x + 1 ) 3/2 次方 ] ′
= [ ( u ) 3/2 次方 ] ′ * u ′
= 3/2 * ( u ) 开方 * 2
= 3 * ( 2x + 1 ) 开方
同理，
[ ( 2x + 1 ) 5/2 次方 ] ′
= 5/2 ( 2x + 1) 3/2 次方 * 2
= 5 * ( 2x + 1) 3/2 次方
(2) 式 = 1/3 { x ′ * ( 2x + 1 ) 3/2 次方 + x * [ ( 2x + 1 ) 3/2 次方 ] ′ } - 1/15 [ ( 2x + 1 ) 5/2 次方 ] ′
= 1/3 { 1 * ( 2x + 1 ) 3/2 次方 + x * 3 * ( 2x + 1 ) 开方 } - 1/15 * 5 * ( 2x + 1) 3/2 次方
= 1/3 * ( 2x + 1 ) 3/2 次方 + x * ( 2x + 1 ) 开方 - 1/3 ( 2x + 1) 3/2 次方
= x * ( 2x + 1 ) 开方
即
ʃ x ( 2x + 1 ) 开方 dx = 1/3 * x * ( 2x + 1 ) 3/2 次方 - 1/15 ( 2x + 1 ) 5/2 次方
[ 1/3 * x * ( 2x + 1 ) 3/2 次方 - 1/15 ( 2x + 1 ) 5/2 次方 ] ′ = x * ( 2x + 1 ) 开方
第 22 讲 ----------------------------------------------
第二类换元法
第二类换元法 就是 第二类换元积分法， 简称 第二类换元法 。 第二类换元法 也可以说是 彻底的 换元法 。
还是 以 ʃ x ( 2x + 1 ) 开方 为例 ：
设 t = ( 2x + 1 ) 开方 ， 则
t ² = 2x + 1
t ² - 1 = 2x
x = 1/2 ( t ² - 1 )
dx / dt = [ 1/2 ( t ² - 1 ) ] ′ = 1/2 * 2 t = t
dx / dt = t
dx = t dt
ʃ x ( 2x + 1 ) 开方 = ʃ 1/2 ( t ² - 1 ) * t * t dt
= 1/2 ʃ ( t ⁴ - t ² ) dt
= 1/2 ( 1/5 t ⁵ - 1/3 t ³ )
= 1/10 t ⁵ - 1/6 t ³
= 1/10 ( 2x + 1 ) 5/2 次方 - 1/6 ( 2x + 1 ) 3/2 次方
即 ʃ x ( 2x + 1 ) 开方 = 1/10 ( 2x + 1 ) 5/2 次方 - 1/6 ( 2x + 1 ) 3/2 次方
这个 结果 和 21 讲 得出 的 1/3 * x * ( 2x + 1 ) 3/2 次方 - 1/15 ( 2x + 1 ) 5/2 次方 看起来 不一样， 但 化简以后 实际上 是一样的 ：
1/3 * x * ( 2x + 1 ) 3/2 次方 - 1/15 ( 2x + 1 ) 5/2 次方
= ( 2x + 1 ) 3/2 次方 * [ 1/3 x - 1/15 ( 2x + 1 ) ]
= ( 2x + 1 ) 3/2 次方 * ( 1/3 x - 2/15 x - 1/15 )
= ( 2x + 1 ) 3/2 次方 * ( 1/5 x - 1/15 )
1/10 ( 2x + 1 ) 5/2 次方 - 1/6 ( 2x + 1 ) 3/2 次方
= ( 2x + 1 ) 3/2 次方 * [ 1/10 ( 2x + 1 ) - 1/6 ]
= ( 2x + 1 ) 3/2 次方 * ( 1/5 x + 1/10 - 1/6 )
= ( 2x + 1 ) 3/2 次方 * ( 1/5 x - 1/15 )