第 23 讲 ----------------------------------------------
微积分 运算公式 是 基于 导数 和 积分 推导出来的， 也就是 基于 dy / dx 和 ʃ f ( x ) dx 推导出来的， 是 dy / dx 和 ʃ f ( x ) dx 的 变形 和 组合 。
微积分 运算公式 的 典型应用 是 求积分 和 解微分方程 ， 广泛的， 也用于 求导数 、积分方程， 各种 微积分问题 或者说 数学分析问题， 比如 泛函 变分法 。
第 24 讲 ----------------------------------------------
一阶微分方程
一阶微分方程 就是 方程 里 有 一阶导数 的 方程， 比如
dy / dx = y (1) 式
(1) 式 是 一阶微分方程， 可以这样解 ：
移项， 变量分离， 1/y * dy = dx
两边积分 ʃ 1/y * dy = ʃ dx
In | y | + C = x ， C 为 任意常数
In | y | = x - C
In | y | = x + C ， 因为 是 任意常数， 所以 - C 可以写成 + C
y = e ^ ( x + C ) (2) 式
(2) 式 就是 (1) 式 的 解， 也就是 dy / dx = y 这个 微分方程 的 解 。 微分方程 的 解 是 一个 或 多个 函数， 这些 函数 的 导数关系 满足 微分方程 。
因为 (2) 式 中 C 为 任意常数， 所以， (2) 式 代表了 无数个 函数， (2) 式 是 (1) 式 的 通解 。
可以根据 题目 给出 的 一些 条件 确定 常数 C 的 值， (2) 式 的 C 取 确定 的 值 对应的 函数 称为 特解 。
比如， 题目 给出 的 条件 是 当 x = 0 时， y = 2， 把 这个 条件 代入 (2) 式 ，
2 = e ^ ( 0 + C )
2 = e ^ C
C = In 2
把 C = In 2 代入 (2) 式 ，
y = e ^ ( x + In 2 ) (3) 式
(3) 式 就是 (1) 式 的 一个 特解 。
第 25 讲 ----------------------------------------------
如图， 当 时间 t = 0 时， 2 个 质点 A 、B 从 原点 O 出发， 以 速率 Va 、Vb 匀速率 运动， A 的 运动轨迹 是 抛物线 ya = 1/2 x ² ， B 的 运动轨迹 是 直线 yb = x 。 已知 Va， 问 Vb 是多少， 使得 A 、B 可以相遇 ？ 并求出 相遇 的 时间 和 位置 。
设 相遇点 为 C 。 可以看到， C 点 是 抛物线 和 直线 的 交点， 可以列方程 ：
ya = yb
1/2 x ² = x
x (1/2 x - 1) = 0
解得 x1 = 0 ， x2 = 2 。 x1 = 0 表示 原点 O， 所以 C 点 是 x2 = 2， 代入 y = x ， 得 y = 2， 即 C 点 坐标 是 Xc = 2 , Yc = 2 。
接下来 要 计算 质点 A 到达 C 点 的 时间， 设 A 在 x 方向 的 速度分量 是 v， 根据 路程（位移） 是 速度 对 时间 的 积分， 可以列方程 ：
x = ʃ v dt (1) 式
根据 导数 的 定义， 导数 是 函数曲线 上 一点 的 斜率， 可以知道 ：
v = Va * 1 / [ 1 + ( ya ′ ) ² ] 开方 (2) 式， ya ′ 是 ya = 1/2 x ² 的 导数
ya ′ = ( 1/2 x ² ) ′ = x ， 代入 (2) 式 ：
v = Va * 1 / ( 1 + x ² ) 开方 ， 代入 (1) 式 ：
x = ʃ Va * 1 / ( 1 + x ² ) 开方 dt
两边微分 dx = d [ ʃ Va * 1 / ( 1 + x ² ) 开方 dt ]
dx = Va * 1 / ( 1 + x ² ) 开方 dt
可以看到， 方程 变成了 微分方程，
移项， 变量分离 ( 1 + x ² ) 开方 dx = Va dt
两边积分 ʃ ( 1 + x ² ) 开方 dx = ʃ Va dt
ʃ ( 1 + x ² ) 开方 dx = Va * t (3) 式
求出 ʃ ( 1 + x ² ) 开方 dx 这个 积分 就可以 解出 方程 。 这个 积分 有一点 麻烦， 应该是用 第二类换元法， 令 x = tan t 。 在 网上 的 文章 《求(1+x^2)开根号的积分》 https://www.zybang.com/question/14408f9d45a2741ef61e5da3fd265931.html 可以看到答案 ：
ʃ ( 1 + x ² ) 开方 dx = (1/2) x (1+x²) 开方 + (1/2) ln | (1+x²) 开方 + x | + C
把 这个 答案 代入 (3) 式 ：
(1/2) x (1+x²) 开方 + (1/2) ln | (1+x²) 开方 + x | + C = Va * t (4) 式
因为 题目 条件 是 当 t = 0 时， A 从 原点 O 出发， 所以， 当 t = 0 时， x = 0， 代入 (4) 式，
(1/2) * 0 * (1+0²) 开方 + (1/2) ln | (1+0²) 开方 + 0 | + C = Va * 0
0 + 0 + C = 0
C = 0
把 C = 0 代回 (4) 式 ，
(1/2) x (1+x²) 开方 + (1/2) ln | (1+x²) 开方 + x | = Va * t
t = { (1/2) x (1+x²) 开方 + (1/2) ln | (1+x²) 开方 + x | } / Va (5) 式
相遇时间 就是 A 到达 C 点 的 时间， C 点 坐标 Xc = 2， 即 当 x = 2 时， 到达 C 点， 把 x = 2 代入 (5) 式 ：
tc = { (1/2) 2 (1+2²) 开方 + (1/2) ln | (1+2²) 开方 + 2 | } / Va
= ( 根号 5 + 1/2 * ln | 根号 5 + 2 | ) / Va
tc 是 到达 C 点 的 时间 ， 即 相遇时间 。
OC 线段 长 = ( Xc ² + Yc ² ) 开方 = ( 2 ² + 2 ² ) 开方 = 2 根号( 2 ) ，
Vb = OC / tc
= 2 根号( 2 ) Va / ( 根号 5 + 1/2 * ln | 根号 5 + 2 | )
所以， 当 Vb = 2 根号( 2 ) Va / ( 根号 5 + 1/2 * ln | 根号 5 + 2 | ) 时 ， A 、B 会相遇，
相遇时间 tc = ( 根号 5 + 1/2 * ln | 根号 5 + 2 | ) / Va ，
相遇位置 是 C 点， C 点 坐标 Xc = 2 , Yc = 2 。
第 26 讲 ----------------------------------------------
二阶微分方程 和 简谐运动
二阶微分方程 是 方程 中 有 二阶导数 的 方程 。 二阶导数 就是 导数 的 导数 。 通常 把 导函数 简称 导数， 所以， 也可以说， 导函数 的 导函数 是 二阶导函数， 简称 二阶导数 。
常见的例子， 物理学 中 的 路程 s 、 速度 v 、 加速度 a 的 关系 ，
v = ds / dt ， v 是 s 的 导数，
a = dv / dt ， a 是 v 的 导数，
所以， a = dv / dt = d ( ds / dt ) / dt = d²s / dt²
a 是 s 的 二阶导数， d²s / dt² 是 二阶导数 表示法， d²s / dt² 表示 d ( ds / dt ) / dt 。
简谐运动 就是 弹簧振子 的 运动， 又称 简谐振动 。 弹簧 的 一端 固定， 另一端 系 一个 小球， 小球 在 弹簧 所在 的 直线 上 自由运动， 就是 简谐运动 。
小球 可以有 初速度， 也可以没有 初速度， 没有 初速度 的话， 可以 拿着 小球 拉伸 或者 压缩 弹簧 后 ， 松手， 这样 小球 在 弹簧弹力 下 开始运动 。
当然， 有 初速度 的 情况下， 也可以让 小球 从 某个 拉伸 或 压缩 的 位置 开始运动 。
我们 可以来 列一下 简谐运动 的 微分方程 ：
以 弹簧 所在 直线 为 x 轴， 弹簧 拉伸 方向 为 正方向， 弹簧 自然放松位置（不拉伸也不压缩 的 位置） 为 原点 O， 建立 坐标系 。 由于 只有 x 轴， 所以 这是个 一维坐标系 。
设 弹簧 拉伸 和 压缩 的 弹性系数 均为 k， 小球 的 位移 为 x， 初速度 为 V₀ ， 初始位置 为 X₀ ， 小球 质量 为 m 。
根据 胡克定律， 小球 在 位置 x 时 的 弹力 F = - k x ， 因为， x 为 正 时， 弹力 是 拉力， x 为 负 时， 弹力 是 反弹力， 所以， F 和 x 的 方向相反 。
根据 牛顿第二定律 F = ma ，
又 加速度 是 位移 的 二阶导数， a = d²x / dt² ，
- k x = m * d²x / dt²
d²x / dt² = - k / m * x ， k 、m 为 常数 ， (1) 式
(1) 式 就是 简谐运动 的 微分方程 ， 可以看到 ， 这是一个 二阶微分方程 。
可以这样解 ：
d²x / dt² = - k/m * x
两边 乘以 2 * dx / dt ， 2 * dx / dt * d²x / dt² = - k / m * x * 2 * dx / dt
2 * dx / dt * d ( dx / dt ) / dt = - k / m * x * 2 * dx / dt
根据 微分公式 d ( u ² ) = 2 u du ， d ( ( dx / dt ) ² ) / dt = - k / m * x * 2 * dx / dt
两边 约去 dt ， d ( ( dx / dt ) ² ) = - k / m * x * 2 * dx
两边 积分 ， ʃ d ( ( dx / dt ) ² ) = ʃ - k / m * x * 2 * dx
( dx / dt ) ² = - k / m ʃ x * 2 * dx
( dx / dt ) ² = - k / m * ( x ² + C )
( dx / dt ) ² = - k / m * x ² - k / m * C
( dx / dt ) ² = - k / m * x ² + C ， 因为 C 为 任意常数， 所以 - k / m * C 仍然可以写为 C 。 (2) 式
小球 初速度 为 V₀ ， 也就是 当 t = 0 时， dx / dt = v = V₀ 。 另， 小球 初始位置 为 X₀ ， 也就是 当 t = 0 时， x = X₀ ，
即 当 t = 0 时， dx / dt = V₀ ， x = X₀ ， 代入 (2) 式 ，
V₀ ² = - k / m * X₀ ² + C
C = V₀ ² + k / m * X₀ ²
把 C = V₀ ² + k / m * X₀ ² 代回 (2) 式 ，
( dx / dt ) ² = - k / m * x ² + ( V₀ ² + k / m * X₀ ² )
dx / dt = [ - k / m * x ² + ( V₀ ² + k / m * X₀ ² ) ] 开方
dx / dt = ( k / m ) 开方 * [ ( V₀ ² + k / m * X₀ ² ) m / k - x ² ] 开方 (3) 式
令 A ² = ( V₀ ² + k / m * X₀ ² ) m / k ， 则 A = [ ( V₀ ² + k / m * X₀ ² ) m / k ] 开方 ，
令 ω = ( k / m ) 开方 ，
将 A 、 ω 代入 (3) 式 ：
dx / dt = ω ( A ² - x ² ) 开方
移项， 变量分离， 1 / ( A ² - x ² ) 开方 dx = ω dt
两边积分， ʃ 1 / ( A ² - x ² ) 开方 dx = ʃ ω dt
根据 积分公式 ʃ 1 / ( a ² - x ² ) dx = arcsin ( x / a ) + C ，
arcsin ( x / A ) + C = ω t
arcsin ( x / A ) = ω t - C
arcsin ( x / A ) = ω t + C (4) 式 ， 因为 C 是 任意常数， 所以， - C 可以写成 + C
小球 初始位置 为 X₀ ， 即 当 t = 0 时， x = X₀ ， 代入 (4) 式 ，
arcsin ( X₀ / A ) = ω * 0 + C
arcsin ( X₀ / A ) = 0 + C
C = arcsin ( X₀ / A )
令 ψ = C = arcsin ( X₀ / A ) ， 代回 (4) 式 ，
arcsin ( x / A ) = ω t + ψ
x / A = sin ( ω t + ψ )
x = A sin ( ω t + ψ )
即 x = A sin ( ω t + ψ ) (5) 式
其中，
ω = ( k / m ) 开方
A = [ ( V₀ ² + k / m * X₀ ² ) m / k ] 开方
ψ = arcsin ( X₀ / A )
(5) 式 就是 简谐运动 微分方程 的 解， 也就是 简谐运动 的 运动方程， 反映了 位移 x 和 时间 t 的 函数关系 。
可以看到， x 和 t 是 正弦函数 ， 如果 简谐运动 以 波 的 形式 向 远处 传播， 波形 就是 一个 正弦曲线， 这也是 正弦波 的 由来 。