刚 看了一下 复变函数 黎曼曲面 流形 复流形 仿射空间 射影空间， 可以说， 这些 是 柯西 黎曼 等 数学家 拿着 代数方程 和 复根 可劲 的 玩， 玩出来的 一堆 东西 。
就像是 发明出了 一堆 儿童玩具 。
谁说不是呢？ 把 复数 放到 二维平面（坐标系） 里， 虚部 一个 坐标轴， 实部 一个 坐标轴， 可以构成 向量， 也可以构成 曲线，
自变量 如果是 实数， 就是 一维 的， 因变量 是 复数， 就是 二维 的， 加起来， 就是 一个 三维 “空间” ，
如果 是 多值函数， 就是说 有 多个 因变量， 每个 因变量 2 维， n 个 因变量 就有 2n 维 ，
于是， 一个 “n 维 空间” （高维空间） 就 诞生 了 。
好了， 代数方程 、复根 、n 维空间 这就是个 框架， 框架 搭好了， 就可以 尽情 的 玩耍 了 。
对 代数方程 和 复根 的 研究 是 需要 的 ， 但是， 从 玩法 上来看， 复变函数 黎曼曲面 流形 复流形 仿射空间 射影空间 代表的 玩法， 是 一种 典型 的 西方思维， 也是 西方特色 。
东方 的 空间几何 和 高维空间， 不是 这样 的， 不是 这样 玩 的 。 这部分 也许 我会在 《古中国 架空历史 数学 发展脉络》 中 有一些 描绘 。
《古中国 架空历史 数学 发展脉络》 是 前段时间 产生了 构思 打算 写 的 一篇文章， 现在 还没有 写 。
亲生姐儿 姐儿 大师 的 工作 似乎 就是 富有 东方特色 的 空间几何 和 高维空间， 似乎 可以看到 数学 的 新的 未来 。
我也许也会在 近期 发表 东方 的 空间几何 和 高维空间 相关 的 想法 和 内容 。
西方， 追求 抽象， 东方， 注重直观 。 东方 高度重视 事物 的 本质 和 本体 。
西方 习惯于 发展 抽象 来 揭示 事物 的 本质 和 本体 。
东方 则 相信 直观 和 逻辑思辨 来 判断 和 发现 事物 的 本质 和 本体 。
东方 一边 追求 “圆满”， 一边 还 注重 实用， 这也许有点 世俗， 但 也 不乏 理想主义 。 一个 优美和谐 的 理论存在， 必然 指导着 宇宙万物， 当然 也能 指导 生产生活， 这就是 东方 实用 和 理想 并重 的 理想主义 。
我担心， 代数方程 、复根 、复平面 、复空间 、n 维空间 被 数学家 们 这样 可劲 的 玩， 玩了 200 多年， 会不会 玩坏了 ？
skywalkerwyj （青莲剑歌） 小青莲， 你学了多少了呢 ？
所以， 复变函数 黎曼曲面 流形 复流形 仿射空间 射影空间 …… 总之， 代数几何， 没有什么高深的， 你就在 代数方程 、复根 、复平面 、复空间 、n 维空间 上 可劲 的 玩， 可劲 的 玩， 可劲 的 玩 …… 玩个 几十年， 多少也能 玩出点 名堂 来吧 ？
黎曼 先生 的 玩法 就 很大胆， 也颇有趣味 。 对于 多值函数， 他 把 坐标轴 裁剪合并， 把 自变量 相同的 多个 函数值 （方程的根， 在 各自 的 坐标轴 上） 在 各自 的 函数曲线 上 的 点 用 直线线段 连起来， 这样 就 造成了 “扭曲” 的 曲面， 这就是 黎曼曲面 。
可以看到， 这其实 是 一个 儿童剪纸 。
如果 我们 用 剪纸 剪贴 出 一个 形状， 然后对 某人 说 ： “喂， 你 来 研究研究 这个 形状（曲面） 吧 ！”
你会发现 事情 出奇 的 简单， 一点儿 也不高深 。
而， 可以知道， 对于 多值函数， 一个 自变量 对应 n 个 函数值， 设 自变量 是 1 维， 每个函数值 也是 1 维， 那么 自变量 和 n 个 函数值 可以 构成 n + 1 维 空间， 对于 某个 定义域 内 的 自变量， 自变量 和 函数值 可以 构成 定义域 内 的 一条 n + 1 维 空间曲线 ， 这也就是 函数曲线 。
那么， 请问大家， 研究 曲线简单， 还是 研究曲面 简单 ？ 如果 是 你， 要研究 这个 多值函数， 你会选择 研究 我刚刚说 的 这个 曲线， 还是 黎曼曲面 ？
所以， 黎曼先生 提出 的 黎曼曲面， 基本上 是 娱乐性质 的 。
但是， 黎曼先生 创作 的 这些个 题材， 扩充了 数学的市场， 拉动了 数学的内需， 提供了 数学的就业岗位， 这个 倒是 真的 。
黎曼先生 颇具 匠心， 给我们留下了 一些套 有趣 的 剪纸方法 和 思路， 让我们能够 创作 和 欣赏 充满 数学之美 、逻辑美 、理性美 、科幻美 的 美丽曲面， 这也是 一种 享受 啊 ！
实际中 的 黎曼曲面 比 上面说的 要 复杂一些， 设 有 一个 方程 f ( x, z ) = 0 ， 对于 一个 x， z 有 2 个 复根， 记为 z1 、z2， 则 z 是 x 的 二值函数 。
z1 是 x 的 函数， 可以记为 z1 = Z1 (x) ， z2 是 x 的 函数， 可以记为 z2 = Z2 (x) 。
z1 是 复数， 是 二维 的， 实部 一个 维度， 虚部 一个 维度， 也可以说 实部 占一个 坐标轴， 虚部 占一个 坐标轴 。 z2 也是 同样 。
则， x 和 z1 可以 构成 一个 三维空间， x 和 z2 也可以 构成 一个 三维空间 。
把 这 2 个 三维空间 合并 到一起， 共用 一个 x， 则 x, z1, z2 可以 构成 五维空间 。
设 z1 = a1 + b1 i ， z2 = a2 + b2 i 。
x 和 a1 在 x-a1 平面 上 构成了 一条 二维曲线， 记为 A1， x 和 b1 在 x-b1 平面 上 构成了 一条 二维曲线， 记为 B1，
x 和 a2 在 x-a2 平面 上 构成了 一条 二维曲线， 记为 A2， x 和 b2 在 x-b2 平面 上 构成了 一条 二维曲线， 记为 B2，
接下来 我们 可以这样， 把 A1 和 B1 上 x 相等 的 点 用 直线线段 连起来 。 对于 一个 x， 在 A1 上 有一个 点 对应， 在 B1 上 也有 一个点 对应， 所以， A1 B1 上 x 相等 的 点 是 一一 对应 的 ， 把 这些点 两两 用 直线线段 连起来， 可以构成 一个 A1 B1 之间 的 曲面， 记为 A1B1 。
同样， 把 A2 和 B2 上 x 相等 的 点 用 直线线段 连起来， 可以构成 一个 A2 B2 之间 的 曲面， 记为 A2B2 。
还可以， 把 A1 和 A2 上 x 相等 的 点 用 直线线段 连起来， 可以构成 一个 A1 A2 之间 的 曲面， 记为 A1A2 ，
把 B1 和 B2 上 x 相等 的 点 用 直线线段 连起来， 可以构成 一个 B1 B2 之间 的 曲面， 记为 B1B2 ，
可以发现， A1B1, A2B2, A1A2, B1B2 这 4 个 曲面 相互之间 连起来了， 连成了一个 整体， 这个 整体 是 一个 五维 的 面， 称为 黎曼曲面 。
不过 4 个 曲面 连接 的 “交界处” 似乎 不是 光滑 的 。
因为是 五维面， 事实上 我们 无法 直观 的 想象， 所以 要 把 五维面 的 “一部分” 放到 三维空间 里 来 看 。
怎么放呢 ？ 比如， 用 一个 平面 和 球面 相交， 在 平面 上 得到 一个 圆， 这个 圆 就是 三维球面 在 二维平面 上 的 “部分”， 也可以说 是 三维球面 在 二维平面 里 的 观察结果 。
同理， 可以 单独 看 A1B1， A1B1 是一个 三维曲面， 可以 “单独” 放到 三维空间 里 来 看 。
同理， 可以 单独 看 A2B2, A1A2, B1B2 。
又或者， 像 平面 和 球面 相交一样， 可以用 一个 三维空间 和 五维面 相交， 得到 一个 三维形状， 这也是 五维面 在 三维空间 的 “部分”， 或者说， 三维空间 里 对 五维面 的 观察结果 。
这种方法 可以 通过 不同 的 “相交角度” 得到 不同 的 三维形状， 或者说 不同角度 的 观察结果 。
O 了 。 其实 这只是 一种 玩法 。
还可以这样玩， x, a1, b1 构成了 一条 三维曲线， 记为 C1， x, a2, b2 构成了 一条 三维曲线， 记为 C2 。
把 C1 和 C2 上 x 相等 的 点 两两 用 直线线段 连起来， 也可以 构成 一个 五维曲面 。
也可以 让 a1, a2 共用 一个 坐标轴 a， b1, b2 共用 一个 坐标轴 b， 这样， C1, C2 就可以 同时出现在 一个 三维空间 里， 把 C1, C2 上 x 相等 的 点 两两 用 直线线段 连起来， 构成 的 是 一个 三维曲面 。
看起来， DNA （脱氧核糖核酸） 的 双螺旋结构 是 黎曼曲面 的 远祖 啊 。
也可以 让 a1, b2 共用 一个 坐标轴， a2, b1 共用 一个 坐标轴， 构成 C1, C2， 再把 C1, C2 上 x 相等 的 点 两两 用 直线线段 连起来， 构成 一个 三维曲面， 这 …… 是个 神马玩意 ？
So 。 其实 这些 是 我 猜 的， 实际 的 黎曼曲面 是不是 这样 ？ 不知道 。
所以， 只要 掌握了 这些 窍门， 你就可以 可劲 的 玩， 去构造， 去剪切， 去连通， 什么 管 啊， 环 啊， 圈 啊， 歧管 啊 …… 都可以 构造 出来 。
构造 出 这些 形状 、“零件” 干什么 ？ 研究呗， 看能不能 研究 出 一些 定理， 来解决一些 难题 什么的，
比如 黎曼曲面 上 发现了 三体 的 运动规律 ……
又或者 黎曼曲面 上 发现了 新的 积分方法， 或者 级数 ……
又或者 黎曼曲面 上 发现了 素数公式 ……
又或者 黎曼曲面 上 发现了 通用 的 泛函方法， 被 广泛使用 ……
代数几何 是 数学 的 分支 中 最抽象， “数学性” 最 “纯” 的 ， 所以， 代数几何 是 “纯数学” 的 代表， 也是 当今 最热门 的 数学领域 。
在 微积分 大厦 建成 后， 数学 就 开始 向 纯数学 发展， “数学气氛” 渐浓， 由 代数方程 、复根 构成的 光怪陆离 的 复空间 和 流形 首当其冲 做了 领头羊，
代数几何 是 一个 代表， 微积分 和 线性代数 互补有无， 结合 产生了 后代 —— 泛函， 泛函 一出生， 就 身披 华丽 的 由 奇怪的 数学符号 和 术语 织成的 外衣， 令人 眼花缭乱， 对 科学 敬服 。
再加上 一个 拓扑， 拓扑 有点像 平面几何， 又有点像 线性空间几何， 又有点像 解析几何， 又像集合论， 又或是 从 这几者 中 抽出一些 简单 的 部分 拼凑而成 。
不得不说， 这三者 的 科幻感 很强 。 这三者 指 代数几何 、泛函 、拓扑 。 事实上， 我在看 代数几何 资料的时候， 经常会 看到 拓扑 。
从 营销的角度 来看， 这三者 是 成功 的， 它们 满足了 人们 对于 科学 和 数学 的 想象 和 好奇， 让 人们 感到 神秘 和 崇拜， 也让 人们 兴奋 、幻想， 幻想 科学 的 魅力 和 魔力 。
代数几何， 作为 纯数学 的 代表， 作为 数学 向 抽象 发展 的 集中体现， 为 爱好 数字符号 的 人们 营造了 一个 乐园， 但也 仅此而已 。
从 幻想 、兴奋 、喧闹 、狂欢 中 退下来， 实际上， 数学 的 实际能力 还停滞 在 二体 、三体 、傅里叶级数的证明 、最速降线 。
这些 是 什么水平 ？ 这是 近代 的 水平 。
现在 数学 发展到了什么 阶段 ？ 数学 已经发展到了 后现代， 以 代数几何 为代表 的 纯数学 抽象数学 迅猛发展， 已经将 数学 带入了 后现代 时代 。
后现代 和 近代 之间 还 隔了一个 现代 。 So 。
数学 的 实际能力 在 纯数学 和 抽象数学 的 大发展 的 浪潮 中 被 忽略 了 。 另一方面， 也被 计算机 悄然 的 替代 了 。
我刚 看了一下 拓扑 的 资料， 可以这么说， 拓扑， 是 很简单的， 也是 颇有 趣味性 的， 拓扑 是 一门 幼儿园 、小学生 、初中生 的 课程 。 就像 我一直有个 想法， 四色定理 是 一个 小学生 拼图题 。
不过 现实中， 拓扑 初接触 时 会 看到 一些 直观 的 图形 和 问题 什么的， 进一步 学习 却 会 突然 接触到 一堆 不知所云 的 高深 、抽象 的 数学概念 、符号 、数学语言 。 让 很多人 立刻 体验到 数学 、现代数学 、现代科学 的 “高深” 、“前沿” 、“超出一般人的想象” 。
其实根本不是那么回事， 数学 、现代数学 、现代科学 没什么 高深， 也没什么 前沿 。 你看到的 拓扑 里 难懂 的 那一堆 符号 是 代数拓扑 。
看起来， 现在， 代数拓扑 是 拓扑 的 主流 和 前沿， 和 代数几何 一样， 代数拓扑 也是 数学 的 主流 和 前沿 。
代数拓扑 和 代数几何 一样， 是 基于 抽象代数 的， 所以 “数学气氛” 很浓， “数学性” 很 纯 。
事实上， 拓扑 是 一个 概念， 是 一个 学科， 百度百科 “拓扑” 词条 这样说 “拓扑是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的一个学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。”
其实 拓扑 就是 一个 研究 形状 的 性质 的 学科， 但 百度百科 的 定义 又说 “不考虑它们的形状和大小” ， 这就没办法了， 大家自己去 理解 吧 。
所以， 由 拓扑 的 定义出发， 只要 是 研究 “形”， 就是 拓扑， 所以， 你可以使用 各种 数学工具 来 研究 “形”， 比如 平面几何 、解析几何 、微积分 、数学分析 、集合论 、代数方程 、三角函数 …… 还可以用 物理定律 、原子结构 …… 太阳系结构 、银河系结构 、细胞结构 …… 物理 化学 语文 生物 仿生学 …… 各种学科， 各种方式 来 研究 拓扑 。
代数拓扑 和 代数几何 一样， 制造了 太多 的 概念 和 形式， 以 “流形” 这个 概念 为例， 流形 这个 概念 根本 不必存在 。
上文也说了， 这是 西方特色， 也是 纯数学 的 特色 。
不过 我们 完全 可以 按 我们 东方 的 习惯 来 搞一个 不同 的 玩法， 直观 而 实用 的 玩法， 而且 简洁明快 。
就是说， 我们 可以 按照 东方 的 特色 来 研究 拓扑 。
比如， 我们 可以 按照 东方 的 思维 来 定义 一个 “一般的形状”， 把这个 定义出来了， 就知道 为什么 “流形” 是 不需要 的 了 。
进一步， 研究 “形” 的 性质 很难吗 ？ 我们 有 平面几何 解析几何 空间几何 微积分 集合论 线性代数 这些 强大 的 数学工具， 难道 还有 什么 “形” 的 问题 是 研究不出来的 ？
这就是 东方 的 思维 。
我一直觉得， 拓扑 的 标准受众 是 小学生 和 初中生， 高中生 可以 玩一些 高级玩法， 大学生 嘛， 掌握了 原理 可以直接用 计算机 解题 了 。
黎曼曲面 是 代数几何，
黎曼流形 是 微分几何，
黎曼几何 是 微分几何，
黎曼度量 是 微分几何，
黎曼猜想 是 代数几何 和 数论 ，
黎曼联络 是 黎曼 去世后 差不都 50 年， 由 列维 - 齐维塔 提出的 。
还有 黎曼积分， 不知 是 什么 东东 。
我以为 只要是 带了 “黎曼” 的， 就是 同一类 东西， 原来不是 ……
流形， 是 每个点 的 性质 都可以 不一样， 可以 “自定义” 的 “形”， 难怪 叫 “流形” 。
以 软件设计 的 眼光 来看， 流形 是一个 过度设计， 接口 满天飞， 适配器 满天飞 的 系统 。
流形 是 每一个 对象 都是 “可配置” 的， 对象 的 每一个 属性 方法 都是 “可配置” 的， 有 哪些 属性 和 方法 也是 “可配置” 的， 每一样 东西 从头到脚 都是 “可配置” 的 。
在 软件界， 这就是 传说中 的， 无限灵活度， 一切皆可配置 的 万能系统引擎 。 就像 儿童 玩的 万能积木 。
在 公司 里， 设计 出 这样 的 系统， 会 被 老板 骂死 。
还好， 还好， 流形 是 数学， 是 科学， 不是 软件项目， 呵呵呵呵 。
张量， 是一个 “智能向量”， 好吧， 零阶张量 是 标量， 一阶张量 是 向量（矩阵）， 二阶张量 是 一阶张量 的 矩阵， 三阶张量 是 二阶张量 的 矩阵 ……
张量 有 数据（标量 、向量）， 有方法（线性算子），
联络， 像是 一个 映射表，
度规， 相当于 一个 算子， 度规 也是 一种 张量 。
微分几何 中后期 搞 的 流形 、度规 、张量 、联络 、协变 、逆变 这一套， 并不稀奇， 有 一定 数学基础 和 系统设计 基础 的 人， 就可以 设计 出来 。 甚至， 还能 设计的 更 “强大” 一些 。
反正也不用考虑 用起来 怎么样， 可劲 玩 呗， 想怎么设计都行 。 呵呵呵呵 。
以 计算机 语言 为例， 如果 不考虑 性能 、易用性、兼容性 、学习成本， 那么， 当然， 很容易 可以设计 出 一个 “无所不能” 的 “超级语言” 来 。
事实上 度规 是不是 张量 完全 无关紧要， 度规 为什么 不能 是一个 函数 ？ 好吧， 张量 可能 是 一个 万能袋子， 什么都能 往里塞 ……
坦白讲， 这些 不知所云 的 数学形式 束缚 了 人们 在 科学 和 智慧 上 的 战斗力 、爆发力 、张力 、生命力 、生产力 。
在 软件领域， 我也是 这样 批评 时下 流行 的 “抽象层” 的， 比如 容器 （Docker , Kubernetes） 和 过度发展 的 .Net 和 C# ， 尤其是 .Net CLR 。
我看到 张量 的 应用 好像 跟 物理学 关系 很密切， 除了 广义相对论 用到， 各种 复杂 的 分析力学 、流体力学 、弹性力学 什么的 也会用到，
这让 我想起 偏微分方程， 著名 的 数学家 们 留下了 很多 著名 的 偏微分方程， 也是 跟 物理， 尤其 是 力学 有关的，
解出来了 没有？ 结果 和 实际情况 相符 吗 ？
同样， 可以预见， 力学 里面 使用 张量， 效果堪忧 。
有时候会觉得 偏微分方程 有点像 掩耳盗铃， 又有点像 刻舟求剑， 你以为 你用 ∂ x 、∂ y 、∂ z 就能 忽视 x 、y 、z 三个方向上 的 分量 之间 客观存在 的 联系 ？ 嗯嗯嗯 ？
黎曼度量 是 一个 基类， 直角坐标系度量 是 一个 子类， 极坐标系度量 是 一个 子类， 这就想起我们写程序的时候， 明明只有 2 种 情况， 还搞 一个 基类 出来， 用 2 个 子类 去继承 ……
当然， 直角坐标系 有 二维 、三维 、四维 …… n 维， 极坐标系 也有 二维 、三维 、四维 …… n 维，
如果 每一种 维数 的 坐标系 算是 一个 度量， 那 相应的， 也可以算 一个 子类， 这样 可扩充 的 子类 也可以是 无穷个 。
这么说的话， 黎曼先生 才是 设计模式 的 鼻祖 啊 ！