• 一个 有意思 的 级数


    计算一个 积分 :

     

    ʃ  α  *  1 / 根号 ( sin α )  *  d ( sinα )

    =  ʃ  α  *  1 / 根号 ( sin α )  *  cos α dα

    =  ʃ  α  *  cos α  *  1 / 根号 ( sin α )  *  dα         (1) 式

     

     

    下文中 会 涉及 n 阶导数,  用   y ′ 、y ′ ′  表示 1 阶 、2 阶导数,   用  y﹙³﹚ 、y ﹙⁴﹚ 、y ﹙⁵﹚ ……   表示  3 阶 、4 阶 、5 阶 ……  导数  。

     

     

    先 算   ʃ  α  d ( sinα )   ,

     

     ʃ  α  d ( sinα ) 

    =       ʃ  α  cos α  dα

    用 分部积分法, 

    =        ʃ  α  ( sin α ) ′   dα

    =        α  sin α   -    ʃ  α ′  sin α   dα

    =        α  sin α   -    ʃ  sin α   dα

    =        α  sin α    +   cos α

     

    ʃ  α  cos α  dα  =   α  sin α    +   cos α          (2) 式

     

    再算  ʃ  α  sin α  dα    ,

    ʃ  α  sin α  dα  

    =    ʃ  α  ( - cos α ) ′  dα  

    =    α  *  - cos α   -    ʃ  α ′  * ( - cos α )  dα

    =    -   α  cos α   -     ʃ  - cos α  dα

    =    -   α  cos α   +    ʃ  cos α  dα

    =    -   α  cos α   +    sin α 

     

    ʃ  α  sin α  dα    =    -   α  cos α   +    sin α                (3) 式

     

     

    (1) 式  =  ʃ  α  *  cos α  *  1 / 根号 ( sin α )  *  dα

    用 分部积分法,  

    =   ʃ   ( α  sin α    +   cos α ) ′   *  1 / 根号 ( sin α )  dα

    =    ( α  sin α    +   cos α )  *   1 / 根号 ( sin α )   -    ʃ   ( α  sin α    +   cos α )   *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′  dα           (4) 式 

     

    ʃ   ( α  sin α    +   cos α )  dα

    =   ʃ   α  sin α  dα  +    ʃ   cos α dα

    =   -   α  cos α   +    sin α   +    sin  α

    =    -   α  cos α   +   2 sin α 

     

    ʃ   ( α  sin α    +   cos α )   *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′  dα  

    =   ʃ   ( -   α  cos α   +   2 sin α  )  ′   *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′  dα  

    =    ( -   α  cos α   +   2 sin α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′   -     ʃ   ( -   α  cos α   +   2 sin α )  *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′  dα

     

    代回  (4) 式,

     

    ʃ  α  *  cos α  *  1 / 根号 ( sin α )  *  dα

    =   ( α  sin α    +   cos α )  *   1 / 根号 ( sin α )    -    ( -   α  cos α   +   2 sin α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′   +     ʃ   ( -   α  cos α   +   2 sin α )  *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′  dα

    =   ( α  sin α    +   cos α )  *   1 / 根号 ( sin α )    +    (   α  cos α   -   2 sin α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′   -     ʃ   (  α  cos α   -   2 sin α )  *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′  dα

    (5) 式

     

    ʃ   ( α  cos α   -   2 sin α )  *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′  dα

    =    ʃ   ( α  sin α    +   3 cos α  )  ′   *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′  dα

    =    (  α  sin α    +   3 cos α  )   *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′   -     ʃ   (  α  sin α   +   3 cos α  )    *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ dα

     

    代回  (5) 式,

     

    ʃ  α  *  cos α  *  1 / 根号 ( sin α )  *  dα

    =    ( α  sin α    +   cos α )  *   1 / 根号 ( sin α )    +   (  α  cos α   -   2 sin α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′   -  (  α  sin α    +   3 cos α  )   *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′  

    +     ʃ   (  α  sin α   +   3 cos α  )    *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ dα

    (6) 式

     

     ʃ   (  α  sin α   +   3 cos α  )    *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ dα

    =    ʃ   (  -   α  cos α   +   4  sin α )  ′   *     [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ dα

    =     (  -   α  cos α   +   4  sin α )   *     [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚   -     ʃ   (  -   α  cos α   +   4  sin α )   *     [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ dα

    =    -  (  α  cos α   -   4  sin α )   *     [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚   +     ʃ   (  α  cos α   -   4  sin α )   *     [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ dα

     

    代回  (6) 式,

     

    ʃ  α  *  cos α  *  1 / 根号 ( sin α )  *  dα

    =   ( α  sin α    +   cos α )  *   1 / 根号 ( sin α )    +   (  α  cos α   -   2 sin α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′   -  (  α  sin α    +   3 cos α  )   *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′   

    -     (   α  cos α   -   4  sin α )   *     [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚   +    ʃ   (   α  cos α   -   4  sin α )   *     [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ dα

    (7) 式

     

     ʃ   (   α  cos α   -   4  sin α )   *     [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ dα

    =     ʃ    ( α  sin α    +    5 cos α  )  ′   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ dα

    =    ( α  sin α    +    5 cos α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚  -    ʃ    ( α  sin α    +    5 cos α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚ dα

     

    代回  (7) 式,

     

    ʃ  α  *  cos α  *  1 / 根号 ( sin α )  *  dα

    =   ( α  sin α    +   cos α )  *   1 / 根号 ( sin α )    +   (  α  cos α   -   2 sin α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′   -  (  α  sin α    +   3 cos α  )   *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′   

    -     (   α  cos α   -   4  sin α )   *     [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚    +     ( α  sin α    +    5 cos α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚   

    -    ʃ    ( α  sin α    +    5 cos α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚ dα

    (8) 式

     

    ʃ    ( α  sin α    +    5 cos α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚ dα

    =    ʃ    (   -   α  cos α   +   6 sin α  )  ′   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚ dα

    =       (   -   α  cos α   +   6 sin α  )    *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚  -      ʃ    (   -   α  cos α   +   6 sin α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚ dα

    =     -   (   α  cos α   -   6 sin α  )    *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚  +    ʃ    (  α  cos α   -   6 sin α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚ dα

     

    代回  (8) 式,

    ʃ  α  *  cos α  *  1 / 根号 ( sin α )  *  dα

    =   ( α  sin α    +   cos α )  *   1 / 根号 ( sin α )    +   (  α  cos α   -   2 sin α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′   -  (  α  sin α    +   3 cos α  )   *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′   

    -     (   α  cos α   -   4  sin α )   *     [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚   +     ( α  sin α    +    5 cos α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ 

    +    (   α  cos α   -   6 sin α  )    *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚  -    ʃ    (  α  cos α   -   6 sin α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚ dα

    (9) 式

     

     ʃ    (  α  cos α   -   6 sin α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚ dα

    =    ʃ   (  α  sin α    +   7 cos α  )  ′  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚ dα

    =    (  α  sin α    +   7 cos α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚  -     ʃ   (  α  sin α    +   7 cos α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚ dα

     

    代回  (9) 式,

     

    ʃ  α  *  cos α  *  1 / 根号 ( sin α )  *  dα

    =   ( α  sin α    +   cos α )  *   1 / 根号 ( sin α )    +   (  α  cos α   -   2 sin α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′   -  (  α  sin α    +   3 cos α  )   *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′   

    -     (   α  cos α   -   4  sin α )   *     [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚   +     ( α  sin α    +    5 cos α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ 

    +    (   α  cos α   -   6 sin α  )    *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚  -     (  α  sin α    +   7 cos α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚ 

    +    ʃ   (  α  sin α    +   7 cos α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚ dα

    (10) 式

     

     ʃ   (  α  sin α    +   7 cos α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚ dα

    =      ʃ   (  -   α  cos α   +    8 sin α  )  ′  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚ dα

    =      (  -   α  cos α   +    8 sin α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚   -      ʃ   (  -   α  cos α   +    8 sin α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁸﹚ dα

    =    -   (  α  cos α   -    8 sin α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚   +     ʃ   (   α  cos α   -    8 sin α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁸﹚ dα

     

    代回  (10) 式,

     

    ʃ  α  *  cos α  *  1 / 根号 ( sin α )  *  dα

    =   ( α  sin α    +   cos α )  *   1 / 根号 ( sin α )    +   (  α  cos α   -   2 sin α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′   -  (  α  sin α    +   3 cos α  )   *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′   

    -     (   α  cos α   -   4  sin α )   *     [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚   +     ( α  sin α    +    5 cos α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ 

    +    (   α  cos α   -   6 sin α  )    *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚  -     (  α  sin α    +   7 cos α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚ 

    -   (  α  cos α   -    8 sin α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚   +     ʃ   (   α  cos α   -    8 sin α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁸﹚ dα

    (11) 式

       

    依此类推,     可以得到 一个 无穷级数 :

     

    ʃ  α  *  cos α  *  1 / 根号 ( sin α )  *  dα

    =   ( α  sin α    +   cos α )  *   1 / 根号 ( sin α )    +   (  α  cos α   -   2 sin α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′   -  (  α  sin α    +   3 cos α  )   *   [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′   

    -     (   α  cos α   -   4  sin α )   *     [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚   +     ( α  sin α    +    5 cos α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ 

    +    (   α  cos α   -   6 sin α  )    *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚  -     (  α  sin α    +   7 cos α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚ 

    -   (  α  cos α   -    8 sin α  )  *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚   +     ……    +    积分余项

    (12) 式

     

    积分余项  可以写成  4  种 :   

    ʃ   (   α  cos α   -    n sin α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙n 阶导数﹚ dα

    ʃ   (  α  sin α    +   n cos α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙n 阶导数﹚ dα

    -   ʃ   (   α  cos α   -    n sin α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙n 阶导数﹚ dα

    -   ʃ   (  α  sin α    +   n cos α  )   *  [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙n 阶导数﹚ dα

     

    啊,这 。

     

    这个 级数 的 项 可能不是 收敛 的 ,    收敛 是指 设 级数 的 项 是 a1, a2, a3  ……  an  ,   若 a1 > a2 > a3 > …… > an,  当 n -> 无穷 时,  an -> 0 , 则 级数 的 项 收敛  。

     

    如果 把  1 / 根号 ( sin α ) 换成  根号 ( sin α )  呢 ?    好像 也不是 收敛 的  。

     

    一般的,  对于   ʃ  α  *  cos α  *  f ( x )  dα  ,    可以用 这种方法 得到 一个 和 (12) 式 类似 的 无穷级数,   存在 一些  f ( x ) ,  使得 级数 的 项 收敛  。

     

    但 关键 的 还有一个 地方 是 积分余项,    如果 积分余项 不是 收敛 的,   项 收敛 也没什么用 。    积分余项 收敛 指 当 n -> 无穷 时,  积分余项 -> 0  。

     

     

    用 分部积分法 获得 无穷级数 的 这种 方法 称为 分部积分级数法  。

     

    分部积分法  有点 类似 游戏 里 的 无赖 招数,   就算 现在 积不出来, 也可以 无限 的 积下去  。

     

    因此,   分部积分级数法  也可以叫   分部积分无限连 ,  也可以叫   分部积分无限快打,   也可以叫 分部积分无限连续技锁定, 简称 分部积分无限连续锁定 、分部积分无限锁定  。

     

    分部积分无限锁定 的 奥义 和 底线 是  就算 攻击 为 0,   也 让 你 无法还手  。

     

     

    我们可以 试试 用 分部积分级数法 来 得到 开平方 的 级数 。

     

    试了一下 几种 方法,  都不行  。

     

    ʃ  x  * 根号 ⁴ (x)  dx  ,  根号 ⁴ (x)   表示 x 开 4 次方  。

     

    用 分部积分 对 x 积分, 对 根号 ⁴ (x)  求导 来 连续展开,   如果 可以 得到 :

     

    ʃ  x  * 根号 ⁴ (x)  dx  =  k1(x) * 1 / 根号 ⁴ (x)  +  k2(x) * 1 / 根号 ⁴ (x)  +  k3(x) * 1 / 根号 ⁴ (x)  + …… +  kn(x) * 1 / 根号 ⁴ (x) 

     

    等号 左边 对   ʃ  x  * 根号 ⁴ (x)  dx  正常积分 得   4/9 *  x ²  *  根号 ⁴ (x)   ,   则

     

    4/9 *  x ²  *  根号 ⁴ (x)   =   k1(x) * 1 / 根号 ⁴ (x)  +  k2(x) * 1 / 根号 ⁴ (x)  +  k3(x) * 1 / 根号 ⁴ (x)  + …… +  kn(x) * 1 / 根号 ⁴ (x) 

     

    那么 等号 两边 乘以 根号 ⁴ (x)   可得

     

    4/9 *  x ²  *  根号 ² (x)   =   k1(x)  +  k2(x)  +  k3(x)  + …… +  kn(x)

     

    根号 ² (x)   =   9/4 * k1(x) / x ²   +  9/4 * k2(x) / x ²  +  9/4 * k3(x) / x ²  + …… +  9/4 * kn(x) / x ²

     

    这就是 根号 ² (x)   的 级数, 也就是 x 开平方 的 级数  。

     

    但,  不行  。

     

     

    ʃ  x * 1/x  dx ,   如果可以得到

     

    ʃ  x * 1/x  dx    =     k1 x + k2 x ² + k3 x ³ + …… + kn x^n

     

    等号左边 正常积分  ʃ  x * 1/x  dx   =   ʃ  1  dx  =   x  ,   则

     

     x   =   k1 x + k2 x ² + k3 x ³ + …… + kn x^n

    把  等号右边 x 的 奇次方 和 偶次方 分开,

    x   =  {  k1 x  + k3 x ³ + k5 x ⁵ + k7 x ⁷ + ……  }  +  {  k2 x ² + k4 x ⁴ + k6 x ⁶ + k8 x ⁸ + ……  }

    把  奇次方 一组 的 x 提出来,

    x   =   x  {  k1 + k3 x ² + k5 x ⁴ + k7 x ⁶ + ……  }  +  {  k2 x ² + k4 x ⁴ + k6 x ⁶ + k8 x ⁸ + ……  }

    这样,   奇次方 一组 也变成了  偶次方,    偶次方 可以表示 为   ( x 2 ) ^ n ,

    x   =   x  {  k1 + k3 x ² + k5 ( x ² ) ² + k7 ( x ² ) ³ + ……  }  +  {  k2 x ² + k4 ( x ² ) ² + k6 ( x ² ) ³ + k8 ( x ² ) ⁴ + ……  }

    x   -   x  {  k1 + k3 x ² + k5 ( x ² ) ² + k7 ( x ² ) ³ + ……  }    =    k2 x ² + k4 ( x ² ) ² + k6 ( x ² ) ³ + k8 ( x ² ) ⁴ + …… 

    x   { 1 - k1 - k3 x ² - k5 ( x ² ) ² - k7 ( x ² ) ³ - ……  }   =    k2 x ² + k4 ( x ² ) ² + k6 ( x ² ) ³ + k8 ( x ² ) ⁴ + …… 

    x   =   {  k2 x ² + k4 ( x ² ) ² + k6 ( x ² ) ³ + k8 ( x ² ) ⁴ + ……   }   /   {  1 - k1 - k3 x ² - k5 ( x ² ) ² - k7 ( x ² ) ³ - ……  }          (13) 式

     

    (13) 式 就得到了 一个  分式,   分子 和 分母 都是 级数  。

     

    (13) 式 中,   x 表示 为 x ² 的 级数(分式级数),   让 x ² = 被开方数,  则 x 就是 平方根  。

     

    但,   还是 不行  。

     

     

    试试     ʃ   sin ( x )  根号 ( x )  dx ,   不行  。

     

    试试     ʃ  x  *  [ 1 / x  *  根号 ⁴ (x)  ]  dx     ,   不行  。

     

    试试     ʃ  sin ( x )  *  [ 1 /  sin ( x )  *  根号 ⁴ (x)  ]  dx     ,   不行,  而且   1 /  sin ( x )  *  根号 ⁴ (x)    的  n 阶导数 表达式 很冗长  。

     

     

    其实 上面 说的 这些 还没有 考虑 积分余项,  也就是说,   还没有 考虑 积分余项,  就已经 不行 了  。

     

     

    如果 上面 这些 尝试 成功,    获得 的 级数 的 项 可能 只在 x > 1 或 x < 1 时 收敛,  假设  x > 1 时 收敛,  x < 1 时 不收敛,  级数 假想 是 这样 :

     

    根号 ( x )  =  k1 / x  +  k2 / x ²  +  k3 / x ³  +  ……  +  kn / x^n  ,

     

    那么,  对于 小于 1 的 x,  要 开平方 怎么办 ?   是不是 不能 用 这个 级数 了 ?

     

    可以 让 x 乘以 一个 倍数,  比如 100 , 10000 , 1000000 ,  等等  。    这些 倍数 都 是 10 的 整数倍 的 平方 , 乘以 倍数 让 x 大于 1,   然后 使用 这个 级数,  再 对 级数 的 每一项 除以 倍数 的 平方根 ,    就可以了  。       

     

    比如 :

     

    x 乘以 100 ,  100 x > 1 ,   使用 级数,

     

    根号 ( 100 x )  =  k1 / ( 100 x )  +  k2 / ( 100 x ) ²  +  k3 / ( 100 x ) ³  +  ……  +  kn / ( 100 x )^n 

     

    两边 除以 100 的 平方根 ,  也就是 10,

     

    1/10  *  根号 ( 100 x )  =  k1 / ( 100 x ) * 1/10  +  k2 / ( 100 x ) ²  * 1/10  +  k3 / ( 100 x ) ³  * 1/10  +  ……  +  kn / ( 100 x )^n * 1/10

    根号 ( 1/100 )  *  根号 ( 100 x )  =  k1 / ( 100 x ) * 1/10  +  k2 / ( 100 x ) ²  * 1/10  +  k3 / ( 100 x ) ³  * 1/10  +  ……  +  kn / ( 100 x )^n * 1/10

    根号 ( 1/100  *  100 x )  =  k1 / ( 100 x ) * 1/10  +  k2 / ( 100 x ) ²  * 1/10  +  k3 / ( 100 x ) ³  * 1/10  +  ……  +  kn / ( 100 x )^n * 1/10

    根号 ( x )  =  k1 / ( 100 x ) * 1/10  +  k2 / ( 100 x ) ²  * 1/10  +  k3 / ( 100 x ) ³  * 1/10  +  ……  +  kn / ( 100 x )^n * 1/10

     

    此时 ,    等号 右边 的 级数 的 项 是 收敛 的  。

     

     

     

     

     

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