计算一个 积分 ：
ʃ α * 1 / 根号 ( sin α ) * d ( sinα )
= ʃ α * 1 / 根号 ( sin α ) * cos α dα
= ʃ α * cos α * 1 / 根号 ( sin α ) * dα (1) 式
下文中 会 涉及 n 阶导数， 用 y ′ 、y ′ ′ 表示 1 阶 、2 阶导数， 用 y﹙³﹚ 、y ﹙⁴﹚ 、y ﹙⁵﹚ …… 表示 3 阶 、4 阶 、5 阶 …… 导数 。
先 算 ʃ α d ( sinα ) ，
ʃ α d ( sinα )
= ʃ α cos α dα
用 分部积分法，
= ʃ α ( sin α ) ′ dα
= α sin α - ʃ α ′ sin α dα
= α sin α - ʃ sin α dα
= α sin α + cos α
ʃ α cos α dα = α sin α + cos α (2) 式
再算 ʃ α sin α dα ，
ʃ α sin α dα
= ʃ α ( - cos α ) ′ dα
= α * - cos α - ʃ α ′ * ( - cos α ) dα
= - α cos α - ʃ - cos α dα
= - α cos α + ʃ cos α dα
= - α cos α + sin α
ʃ α sin α dα = - α cos α + sin α (3) 式
(1) 式 = ʃ α * cos α * 1 / 根号 ( sin α ) * dα
用 分部积分法，
= ʃ ( α sin α + cos α ) ′ * 1 / 根号 ( sin α ) dα
= ( α sin α + cos α ) * 1 / 根号 ( sin α ) - ʃ ( α sin α + cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ dα (4) 式
ʃ ( α sin α + cos α ) dα
= ʃ α sin α dα + ʃ cos α dα
= - α cos α + sin α + sin α
= - α cos α + 2 sin α
ʃ ( α sin α + cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ dα
= ʃ ( - α cos α + 2 sin α ) ′ * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ dα
= ( - α cos α + 2 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ - ʃ ( - α cos α + 2 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′ dα
代回 (4) 式，
ʃ α * cos α * 1 / 根号 ( sin α ) * dα
= ( α sin α + cos α ) * 1 / 根号 ( sin α ) - ( - α cos α + 2 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ + ʃ ( - α cos α + 2 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′ dα
= ( α sin α + cos α ) * 1 / 根号 ( sin α ) + ( α cos α - 2 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ - ʃ ( α cos α - 2 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′ dα
(5) 式
ʃ ( α cos α - 2 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′ dα
= ʃ ( α sin α + 3 cos α ) ′ * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′ dα
= ( α sin α + 3 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′ - ʃ ( α sin α + 3 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ dα
代回 (5) 式，
ʃ α * cos α * 1 / 根号 ( sin α ) * dα
= ( α sin α + cos α ) * 1 / 根号 ( sin α ) + ( α cos α - 2 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ - ( α sin α + 3 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′
+ ʃ ( α sin α + 3 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ dα
(6) 式
ʃ ( α sin α + 3 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ dα
= ʃ ( - α cos α + 4 sin α ) ′ * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ dα
= ( - α cos α + 4 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ - ʃ ( - α cos α + 4 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ dα
= - ( α cos α - 4 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ + ʃ ( α cos α - 4 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ dα
代回 (6) 式，
ʃ α * cos α * 1 / 根号 ( sin α ) * dα
= ( α sin α + cos α ) * 1 / 根号 ( sin α ) + ( α cos α - 2 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ - ( α sin α + 3 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′
- ( α cos α - 4 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ + ʃ ( α cos α - 4 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ dα
(7) 式
ʃ ( α cos α - 4 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ dα
= ʃ ( α sin α + 5 cos α ) ′ * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ dα
= ( α sin α + 5 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚ - ʃ ( α sin α + 5 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚ dα
代回 (7) 式，
ʃ α * cos α * 1 / 根号 ( sin α ) * dα
= ( α sin α + cos α ) * 1 / 根号 ( sin α ) + ( α cos α - 2 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ - ( α sin α + 3 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′
- ( α cos α - 4 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ + ( α sin α + 5 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚
- ʃ ( α sin α + 5 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚ dα
(8) 式
ʃ ( α sin α + 5 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚ dα
= ʃ ( - α cos α + 6 sin α ) ′ * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚ dα
= ( - α cos α + 6 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚ - ʃ ( - α cos α + 6 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚ dα
= - ( α cos α - 6 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚ + ʃ ( α cos α - 6 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚ dα
代回 (8) 式，
ʃ α * cos α * 1 / 根号 ( sin α ) * dα
= ( α sin α + cos α ) * 1 / 根号 ( sin α ) + ( α cos α - 2 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ - ( α sin α + 3 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′
- ( α cos α - 4 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ + ( α sin α + 5 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚
+ ( α cos α - 6 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚ - ʃ ( α cos α - 6 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚ dα
(9) 式
ʃ ( α cos α - 6 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚ dα
= ʃ ( α sin α + 7 cos α ) ′ * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚ dα
= ( α sin α + 7 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚ - ʃ ( α sin α + 7 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚ dα
代回 (9) 式，
ʃ α * cos α * 1 / 根号 ( sin α ) * dα
= ( α sin α + cos α ) * 1 / 根号 ( sin α ) + ( α cos α - 2 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ - ( α sin α + 3 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′
- ( α cos α - 4 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ + ( α sin α + 5 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚
+ ( α cos α - 6 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚ - ( α sin α + 7 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚
+ ʃ ( α sin α + 7 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚ dα
(10) 式
ʃ ( α sin α + 7 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚ dα
= ʃ ( - α cos α + 8 sin α ) ′ * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚ dα
= ( - α cos α + 8 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚ - ʃ ( - α cos α + 8 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁸﹚ dα
= - ( α cos α - 8 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚ + ʃ ( α cos α - 8 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁸﹚ dα
代回 (10) 式，
ʃ α * cos α * 1 / 根号 ( sin α ) * dα
= ( α sin α + cos α ) * 1 / 根号 ( sin α ) + ( α cos α - 2 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ - ( α sin α + 3 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′
- ( α cos α - 4 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ + ( α sin α + 5 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚
+ ( α cos α - 6 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚ - ( α sin α + 7 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚
- ( α cos α - 8 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚ + ʃ ( α cos α - 8 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁸﹚ dα
(11) 式
依此类推， 可以得到 一个 无穷级数 ：
ʃ α * cos α * 1 / 根号 ( sin α ) * dα
= ( α sin α + cos α ) * 1 / 根号 ( sin α ) + ( α cos α - 2 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ - ( α sin α + 3 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ] ′ ′
- ( α cos α - 4 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙³﹚ + ( α sin α + 5 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁴﹚
+ ( α cos α - 6 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁵﹚ - ( α sin α + 7 cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁶﹚
- ( α cos α - 8 sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙⁷﹚ + …… + 积分余项
(12) 式
积分余项 可以写成 4 种 ：
ʃ ( α cos α - n sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙n 阶导数﹚ dα
ʃ ( α sin α + n cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙n 阶导数﹚ dα
- ʃ ( α cos α - n sin α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙n 阶导数﹚ dα
- ʃ ( α sin α + n cos α ) * [ 1 / 根号 ( sin α ) ]﹙n 阶导数﹚ dα
啊，这 。
这个 级数 的 项 可能不是 收敛 的 ， 收敛 是指 设 级数 的 项 是 a1, a2, a3 …… an ， 若 a1 > a2 > a3 > …… > an， 当 n -> 无穷 时， an -> 0 ， 则 级数 的 项 收敛 。
如果 把 1 / 根号 ( sin α ) 换成 根号 ( sin α ) 呢 ？ 好像 也不是 收敛 的 。
一般的， 对于 ʃ α * cos α * f ( x ) dα ， 可以用 这种方法 得到 一个 和 (12) 式 类似 的 无穷级数， 存在 一些 f ( x ) ， 使得 级数 的 项 收敛 。
但 关键 的 还有一个 地方 是 积分余项， 如果 积分余项 不是 收敛 的， 项 收敛 也没什么用 。 积分余项 收敛 指 当 n -> 无穷 时， 积分余项 -> 0 。
用 分部积分法 获得 无穷级数 的 这种 方法 称为 分部积分级数法 。
分部积分法 有点 类似 游戏 里 的 无赖 招数， 就算 现在 积不出来， 也可以 无限 的 积下去 。
因此， 分部积分级数法 也可以叫 分部积分无限连 ， 也可以叫 分部积分无限快打， 也可以叫 分部积分无限连续技锁定， 简称 分部积分无限连续锁定 、分部积分无限锁定 。
分部积分无限锁定 的 奥义 和 底线 是 就算 攻击 为 0， 也 让 你 无法还手 。
我们可以 试试 用 分部积分级数法 来 得到 开平方 的 级数 。
试了一下 几种 方法， 都不行 。
ʃ x * 根号 ⁴ (x) dx ， 根号 ⁴ (x) 表示 x 开 4 次方 。
用 分部积分 对 x 积分， 对 根号 ⁴ (x) 求导 来 连续展开， 如果 可以 得到 ：
ʃ x * 根号 ⁴ (x) dx = k1(x) * 1 / 根号 ⁴ (x) + k2(x) * 1 / 根号 ⁴ (x) + k3(x) * 1 / 根号 ⁴ (x) + …… + kn(x) * 1 / 根号 ⁴ (x)
等号 左边 对 ʃ x * 根号 ⁴ (x) dx 正常积分 得 4/9 * x ² * 根号 ⁴ (x) ， 则
4/9 * x ² * 根号 ⁴ (x) = k1(x) * 1 / 根号 ⁴ (x) + k2(x) * 1 / 根号 ⁴ (x) + k3(x) * 1 / 根号 ⁴ (x) + …… + kn(x) * 1 / 根号 ⁴ (x)
那么 等号 两边 乘以 根号 ⁴ (x) 可得
4/9 * x ² * 根号 ² (x) = k1(x) + k2(x) + k3(x) + …… + kn(x)
根号 ² (x) = 9/4 * k1(x) / x ² + 9/4 * k2(x) / x ² + 9/4 * k3(x) / x ² + …… + 9/4 * kn(x) / x ²
这就是 根号 ² (x) 的 级数， 也就是 x 开平方 的 级数 。
但， 不行 。
ʃ x * 1/x dx ， 如果可以得到
ʃ x * 1/x dx = k1 x + k2 x ² + k3 x ³ + …… + kn x^n
等号左边 正常积分 ʃ x * 1/x dx = ʃ 1 dx = x ， 则
x = k1 x + k2 x ² + k3 x ³ + …… + kn x^n
把 等号右边 x 的 奇次方 和 偶次方 分开，
x = { k1 x + k3 x ³ + k5 x ⁵ + k7 x ⁷ + …… } + { k2 x ² + k4 x ⁴ + k6 x ⁶ + k8 x ⁸ + …… }
把 奇次方 一组 的 x 提出来，
x = x { k1 + k3 x ² + k5 x ⁴ + k7 x ⁶ + …… } + { k2 x ² + k4 x ⁴ + k6 x ⁶ + k8 x ⁸ + …… }
这样， 奇次方 一组 也变成了 偶次方， 偶次方 可以表示 为 ( x 2 ) ^ n ，
x = x { k1 + k3 x ² + k5 ( x ² ) ² + k7 ( x ² ) ³ + …… } + { k2 x ² + k4 ( x ² ) ² + k6 ( x ² ) ³ + k8 ( x ² ) ⁴ + …… }
x - x { k1 + k3 x ² + k5 ( x ² ) ² + k7 ( x ² ) ³ + …… } = k2 x ² + k4 ( x ² ) ² + k6 ( x ² ) ³ + k8 ( x ² ) ⁴ + ……
x { 1 - k1 - k3 x ² - k5 ( x ² ) ² - k7 ( x ² ) ³ - …… } = k2 x ² + k4 ( x ² ) ² + k6 ( x ² ) ³ + k8 ( x ² ) ⁴ + ……
x = { k2 x ² + k4 ( x ² ) ² + k6 ( x ² ) ³ + k8 ( x ² ) ⁴ + …… } / { 1 - k1 - k3 x ² - k5 ( x ² ) ² - k7 ( x ² ) ³ - …… } (13) 式
(13) 式 就得到了 一个 分式， 分子 和 分母 都是 级数 。
(13) 式 中， x 表示 为 x ² 的 级数（分式级数）， 让 x ² = 被开方数， 则 x 就是 平方根 。
但， 还是 不行 。
试试 ʃ sin ( x ) 根号 ( x ) dx ， 不行 。
试试 ʃ x * [ 1 / x * 根号 ⁴ (x) ] dx ， 不行 。
试试 ʃ sin ( x ) * [ 1 / sin ( x ) * 根号 ⁴ (x) ] dx ， 不行， 而且 1 / sin ( x ) * 根号 ⁴ (x) 的 n 阶导数 表达式 很冗长 。
其实 上面 说的 这些 还没有 考虑 积分余项， 也就是说， 还没有 考虑 积分余项， 就已经 不行 了 。
如果 上面 这些 尝试 成功， 获得 的 级数 的 项 可能 只在 x > 1 或 x < 1 时 收敛， 假设 x > 1 时 收敛， x < 1 时 不收敛， 级数 假想 是 这样 ：
根号 ( x ) = k1 / x + k2 / x ² + k3 / x ³ + …… + kn / x^n ，
那么， 对于 小于 1 的 x， 要 开平方 怎么办 ？ 是不是 不能 用 这个 级数 了 ？
可以 让 x 乘以 一个 倍数， 比如 100 , 10000 , 1000000 ， 等等 。 这些 倍数 都 是 10 的 整数倍 的 平方 ， 乘以 倍数 让 x 大于 1， 然后 使用 这个 级数， 再 对 级数 的 每一项 除以 倍数 的 平方根 ， 就可以了 。
比如 ：
x 乘以 100 ， 100 x > 1 ， 使用 级数，
根号 ( 100 x ) = k1 / ( 100 x ) + k2 / ( 100 x ) ² + k3 / ( 100 x ) ³ + …… + kn / ( 100 x )^n
两边 除以 100 的 平方根 ， 也就是 10，
1/10 * 根号 ( 100 x ) = k1 / ( 100 x ) * 1/10 + k2 / ( 100 x ) ² * 1/10 + k3 / ( 100 x ) ³ * 1/10 + …… + kn / ( 100 x )^n * 1/10
根号 ( 1/100 ) * 根号 ( 100 x ) = k1 / ( 100 x ) * 1/10 + k2 / ( 100 x ) ² * 1/10 + k3 / ( 100 x ) ³ * 1/10 + …… + kn / ( 100 x )^n * 1/10
根号 ( 1/100 * 100 x ) = k1 / ( 100 x ) * 1/10 + k2 / ( 100 x ) ² * 1/10 + k3 / ( 100 x ) ³ * 1/10 + …… + kn / ( 100 x )^n * 1/10
根号 ( x ) = k1 / ( 100 x ) * 1/10 + k2 / ( 100 x ) ² * 1/10 + k3 / ( 100 x ) ³ * 1/10 + …… + kn / ( 100 x )^n * 1/10
此时 ， 等号 右边 的 级数 的 项 是 收敛 的 。