一开始 的 时候， 以为 泰勒级数 是 f ( x ) 和 n 阶导数 之间 的 关系， 或者 f ( x ) 的 1 阶导数 和 2 阶 、3 阶 …… n 阶导数 之间 的 关系 ， 作了 一些 这样 的 推导 ：
f ′ ( x ) = [ f ( x + ⊿ x ) - f ( x ) ] / ⊿ x , ⊿ x -> 0
f ′ ′ ( x )
= [ f ′ ( x + ⊿ x ) - f ′ ( x ) ] / ⊿ x
= { [ f ( x + 2 ⊿ x ) - f ( x + ⊿ x ) ] / ⊿ x - [ f ( x + ⊿ x ) - f ( x ) ] / ⊿ x } / ⊿ x
= { [ f ( x + 2 ⊿ x ) - f ( x + ⊿ x ) - f ( x + ⊿ x ) + f ( x ) ] / ⊿ x } / ⊿ x
= { [ f ( x + 2 ⊿ x ) - 2 f ( x + ⊿ x ) + f ( x ) ] / ⊿ x } / ⊿ x
= [ f ( x + 2 ⊿ x ) - 2 f ( x + ⊿ x ) + f ( x ) ] / (⊿ x ) ²
f ﹙³﹚( x )
= [ f ′ ′ ( x + ⊿ x ) - f ′ ′ ( x ) ] / ⊿ x
= { [ f ( x + 3 ⊿ x ) - 2 f ( x + 2 ⊿ x ) + f ( x + ⊿ x ) ] / (⊿ x ) ² - [ f ( x + 2 ⊿ x ) - 2 f ( x + ⊿ x ) + f ( x ) ] / (⊿ x ) ² } / ⊿ x
= { [ f ( x + 3 ⊿ x ) - 2 f ( x + 2 ⊿ x ) + f ( x + ⊿ x ) - f ( x + 2 ⊿ x ) + 2 f ( x + ⊿ x ) - f ( x ) ] / (⊿ x ) ² } / ⊿ x
= { [ f ( x + 3 ⊿ x ) - 3 f ( x + 2 ⊿ x ) + 3 f ( x + ⊿ x ) - f ( x ) ] / (⊿ x ) ² } / ⊿ x
= [ f ( x + 3 ⊿ x ) - 3 f ( x + 2 ⊿ x ) + 3 f ( x + ⊿ x ) - f ( x ) ] / (⊿ x ) ³
f ﹙⁴﹚( x )
= [ f ﹙³﹚ ( x + ⊿ x ) - f ﹙³﹚ ( x ) ] / ⊿ x
= { [ f ( x + 4 ⊿ x ) - 3 f ( x + 3 ⊿ x ) + 3 f ( x + 2 ⊿ x ) - f ( x + ⊿ x ) ] / (⊿ x ) ³ - [ f ( x + 3 ⊿ x ) - 3 f ( x + 2 ⊿ x ) + 3 f ( x + ⊿ x ) - f ( x ) ] / (⊿ x ) ³ } / ⊿ x
= { [ f ( x + 4 ⊿ x ) - 3 f ( x + 3 ⊿ x ) + 3 f ( x + 2 ⊿ x ) - f ( x + ⊿ x ) - f ( x + 3 ⊿ x ) + 3 f ( x + 2 ⊿ x ) - 3 f ( x + ⊿ x ) + f ( x ) ] / (⊿ x ) ³ } / ⊿ x
= { [ f ( x + 4 ⊿ x ) - 4 f ( x + 3 ⊿ x ) + 6 f ( x + 2 ⊿ x ) - 4 f ( x + ⊿ x ) + f ( x ) ] / (⊿ x ) ³ } / ⊿ x
= [ f ( x + 4 ⊿ x ) - 4 f ( x + 3 ⊿ x ) + 6 f ( x + 2 ⊿ x ) - 4 f ( x + ⊿ x ) + f ( x ) ] / (⊿ x ) ⁴
f ′ ( x ) , f ′ ′ ( x ) , f ﹙³﹚( x ) , f ﹙⁴﹚( x ) …… f ﹙n﹚( x ) 是 f ( x ) 的 1 阶导数， 2 阶导数， 3 阶导数， 4 阶导数 …… n 阶导数 。
依此类推， 可得
f ﹙⁵﹚( x ) = ……
f ﹙⁶﹚( x ) = ……
f ﹙⁷﹚( x ) = ……
……
f ﹙n﹚( x ) = ……
由上，
f ′ ( x ) = [ f ( x + ⊿ x ) - f ( x ) ] / ⊿ x , ⊿ x -> 0 (1) 式
f ′ ′ ( x ) = [ f ( x + 2 ⊿ x ) - 2 f ( x + ⊿ x ) + f ( x ) ] / (⊿ x ) ² (2) 式
f ﹙³﹚( x ) = [ f ( x + 3 ⊿ x ) - 3 f ( x + 2 ⊿ x ) + 3 f ( x + ⊿ x ) - f ( x ) ] / (⊿ x ) ³ (3) 式
f ﹙⁴﹚( x ) = [ f ( x + 4 ⊿ x ) - 4 f ( x + 3 ⊿ x ) + 6 f ( x + 2 ⊿ x ) - 4 f ( x + ⊿ x ) + f ( x ) ] / (⊿ x ) ⁴ (4) 式
……
f ﹙n﹚( x ) = ……
怎么 感觉 好像 杨辉三角 ……
根据 (1) 式， 可得 ：
f ( x + ⊿ x ) = f ′ ( x ) * ⊿ x + f ( x ) (5) 式
根据 (2) 式， 可得 ：
f ( x + 2 ⊿ x ) = f ′ ′ ( x ) (⊿ x ) ² + 2 f ( x + ⊿ x ) - f ( x )
将 (5) 式 代入 ，
f ( x + 2 ⊿ x ) = f ′ ′ ( x ) (⊿ x ) ² + 2 [ f ′ ( x ) * ⊿ x + f ( x ) ] - f ( x )
= f ′ ′ ( x ) (⊿ x ) ² + 2 f ′ ( x ) * ⊿ x + f ( x ) (6) 式
根据 (3) 式， 同理可得 ：
f ( x + 3 ⊿ x ) = f ﹙³﹚( x ) * (⊿ x ) ³ + 3 f ( x + 2 ⊿ x ) - 3 f ( x + ⊿ x ) + f ( x )
将 (5) 式 (6) 式 代入 ，
f ( x + 3 ⊿ x )
= f ﹙³﹚( x ) * (⊿ x ) ³ + 3 [ f ′ ′ ( x ) (⊿ x ) ² + 2 f ′ ( x ) * ⊿ x + f ( x ) ] - 3 [ f ′ ( x ) * ⊿ x + f ( x ) ] + f ( x )
= f ﹙³﹚( x ) * (⊿ x ) ³ + 3 f ′ ′ ( x ) (⊿ x ) ² + 6 f ′ ( x ) * ⊿ x + 3 f ( x ) - 3 f ′ ( x ) * ⊿ x - 3 f ( x ) + f ( x )
= f ﹙³﹚( x ) * (⊿ x ) ³ + 3 f ′ ′ ( x ) (⊿ x ) ² + 3 f ′ ( x ) * ⊿ x + f ( x ) (7) 式
根据 (4) 式 ，
f ( x + 4 ⊿ x ) = f ﹙⁴﹚( x ) * (⊿ x ) ⁴ + 4 f ( x + 3 ⊿ x ) - 6 f ( x + 2 ⊿ x ) + 4 f ( x + ⊿ x ) - f ( x )
将 (5) 式 (6) 式 (7) 式 代入 ，
f ( x + 4 ⊿ x )
= f ﹙⁴﹚( x ) * (⊿ x ) ⁴ + 4 [ f ﹙³﹚( x ) * (⊿ x ) ³ + 3 f ′ ′ ( x ) (⊿ x ) ² + 3 f ′ ( x ) * ⊿ x + f ( x ) ] - 6 [ f ′ ′ ( x ) (⊿ x ) ² + 2 f ′ ( x ) * ⊿ x + f ( x ) ] + 4 [ f ′ ( x ) * ⊿ x + f ( x ) ] - f ( x )
= f ﹙⁴﹚( x ) * (⊿ x ) ⁴ + 4 f ﹙³﹚( x ) * (⊿ x ) ³ + 12 f ′ ′ ( x ) (⊿ x ) ² + 12 f ′ ( x ) * ⊿ x + 4 f ( x ) - 6 f ′ ′ ( x ) (⊿ x ) ² - 12 f ′ ( x ) * ⊿ x - 6 f ( x ) + 4 f ′ ( x ) * ⊿ x + 4 f ( x ) - f ( x )
= f ﹙⁴﹚( x ) * (⊿ x ) ⁴ + 4 f ﹙³﹚( x ) * (⊿ x ) ³ + 6 f ′ ′ ( x ) (⊿ x ) ² + 4 f ′ ( x ) * ⊿ x + f ( x ) (8) 式
整理一下 ，
f ( x + ⊿ x ) = f ′ ( x ) * ⊿ x + f ( x ) (5) 式
f ( x + 2 ⊿ x ) = f ′ ′ ( x ) (⊿ x ) ² + 2 f ′ ( x ) * ⊿ x + f ( x ) (6) 式
f ( x + 3 ⊿ x ) = f ﹙³﹚( x ) * (⊿ x ) ³ + 3 f ′ ′ ( x ) (⊿ x ) ² + 3 f ′ ( x ) * ⊿ x + f ( x ) (7) 式
f ( x + 4 ⊿ x ) = f ﹙⁴﹚( x ) * (⊿ x ) ⁴ + 4 f ﹙³﹚( x ) * (⊿ x ) ³ + 6 f ′ ′ ( x ) (⊿ x ) ² + 4 f ′ ( x ) * ⊿ x + f ( x ) (8) 式
(1) ( 2) (3) (4) 式 的 系数 满足 杨辉三角， (5) ( 6) (7) (8) 式 的 系数 也 满足 杨辉三角， 将 (1) ( 2) (3) (4) 式 称为 1 组， (5) ( 6) (7) (8) 式 称为 (2) 组，
1 组 可以继续 推导 f ﹙⁵﹚( x ) , f ﹙⁶﹚( x ) , f ﹙⁷﹚( x ) …… f ﹙n﹚( x ) ， 可以知道， f ﹙⁵﹚( x ) , f ﹙⁶﹚( x ) , f ﹙⁷﹚( x ) …… f ﹙n﹚( x ) 的 系数 仍然 满足 杨辉三角，
2 组 可以继续 推导 f ( x + 5 ⊿ x ) , f ( x + 6 ⊿ x ) , f ( x + 7 ⊿ x ) …… f ( x + n ⊿ x ) ， 大概 可以知道， f ( x + 5 ⊿ x ) , f ( x + 6 ⊿ x ) , f ( x + 7 ⊿ x ) …… f ( x + n ⊿ x ) 的 系数 仍然 满足 杨辉三角，
区别 是 2 组 的 系数 都是 正号， 没有 负号 。
2 组 由 1 组 移项 代入 而成， 所以， 这个 现象 可以称为 “杨辉三角 反转定理”， 或 “杨辉三角 逆转代入定理” 。
等 …… 我们 的 任务 是 推导 泰勒级数， 接下来 要 怎么办 ？ 把 (1) ( 2) (3) (4) …… 式 像 接龙 一样 的 接起来 ？ 还是 把 (5) ( 6) (7) (8) …… 式 像 接龙 一样 的 接起来 ？
也可以 把 式子 再 变换一下 再 接 起来， 总之 ， 这里 可以有 一些 玩法 。
我原来 想过 用 等比数列 求和 公式 把 k1 * ⊿ x + k2 * (⊿ x ) ² + k3 * (⊿ x ) ³ + k4 * (⊿ x ) ⁴ + …… 归纳起来 ， 但 k1, k2, k3, k4 …… 不是 等比 的 。
把 每个 式子 归纳 以后 再 接龙 起来 会 怎么样 ？ 如果 可以 做到的话 。
2 组 中 f ( x + n ⊿ x ) = …… ， 当 n -> 无穷 时， n ⊿ x 会否 成为 一个 宏观 的 ⊿ x ？
宏观 的 ⊿ x 记为 ⊿ X ，
如果 n ⊿ x 是 宏观 的 ⊿ x ， 即 如果 n ⊿ x = ⊿ X ，
那么 f ( x + ⊿ X ) = f ( x + n ⊿ x ) = ……
就是 说 可能 计算出 f ( x + ⊿ X ) ， 根据 f ( x ) 和 f ′ ( x ) , f ′′ ( x ) , f ﹙³﹚ ( x ) , f ﹙⁴﹚( x ) …… f ﹙n﹚( x ) 计算 出 f ( x + ⊿ X ) ， 这好像 有点 泰勒级数 的 样子 了 ， 或者说， 有点 “根据 f ( x ) 上 的 一个 定点 和 n 阶导数 计算出 任意一个 x 的 f ( x )” 的 样子 了 。
但， 不行 。
因为 n ⊿ x 不是 宏观 的 ⊿ x， n ⊿ x != ⊿ X ，
因为 上面 是 导数 推导， 所以 (1) ( 2) (3) (4) …… 式 ， (5) ( 6) (7) (8) …… 式 成立 的 条件 是 ⊿ x -> 0 , 2 ⊿ x -> 0 , 3 ⊿ x -> 0 , 4 ⊿ x -> 0 …… n ⊿ x -> 0 ，
当 n -> 无穷 时， 仍然 n ⊿ x -> 0， 可以认为， n -> 无穷 时， n ⊿ x 里 的 ⊿ x 是 n ⊿ x 的 高阶无穷小 。
也可以 写成 n ⊿ x != ⊿ X ， n ² ⊿ x = ⊿ X 。
又 或者 通过 接龙 得到 f ( x + ⊿ x) - f ( x ) = …… ，
因为 ⊿ f ( x ) = f ( x + ⊿ x) - f ( x ) = …… ，
所以 f ( x ) = ʃ ⊿ f ( x ) = ʃ [ f ( x + ⊿ x) - f ( x ) ] = ʃ …… ，
就是说， 如果 可以得到 ⊿ f ( x ) 的 一个 级数表达式 ， f ( x ) = ʃ ⊿ f ( x ) ， 对 这个 级数表达式 积分 就可以得到 f ( x ) ， 幸运的话， 积分 ʃ 可以 消掉 级数表达式 里 的 微分 ⊿ x ， 这样， 级数表达式 里 只剩下 代数式 的 成分， 这样， 就得到 一个 代数式 表达 的 级数 了 。
总之 ， 这里 可以有 一些 玩法 。 这样 能不能 推导出 泰勒级数 ， 或者 一个 用 f ( x ) 的 n 阶导数 表示 f ( x ) 的 级数 ？
我作了一些 尝试， 没有成功 。 但 说不定 也许能成功 呢 。
总之， 直接 去 寻找 f ( x ) 和 n 阶导数 之间 的 关系 似乎 行不通 。