今天 （2021-09-18） 在 数学吧 看到 一个 帖 《这一题该怎么证明？》 https://tieba.baidu.com/p/7541594883 ， 里面 列了一些 题， 楼主 提到 第 21 题 。
证明 第 21 题，
设 b2 / b1 = qb2, b3/ b2 = qb3, b4 / b3 = qb4 …… bn / b﹙n - 1﹚ = qbn ，
a2 / a1 = qa2, a3/ a2 = qa3, a4 / a3 = qa4 …… an / a﹙n - 1﹚ = qan ，
则 bn = b1 * qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn ，
an = a1 * qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan
因为 { bn } 收敛， 所以， 当 n -> 无穷 时， bn -> B ， B 为 常量 。
则 当 n -> 无穷 时， b1 * qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn -> B
qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn -> B / b1
因为 qa2 < qb2 , qa3 < qb3 , qa4 < qb4 …… qan < qbn ，
所以 qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan -> A₀ < B / b1
an = a1 * qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan -> a1 * A₀ < a1 * B / b1
令 A = a1 * A₀ ， 可知 A < a1 * B / b1 ， A 为 常量
也就是 an -> A ， A 为常量 ， 即 { an } 收敛 。
qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan -> A₀ < B / b1 ， 因为 是 正数列， qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan > 0 ， A₀ >= 0 ， 即 A₀ ∈ [ 0 , B / b1 ) 。
这里有一个 问题， A₀ ∈ [ 0 , B / b1 ) ， 那么， A₀ 是 一个 值， 还是 多个值 ？ 还是 无数个 可能 的 值 ？ 多个值 就是 当 n -> 无穷 时， A₀ 在 多个值 之间 跳跃 。
这一点 可以这样解释， 对于 一个 确定 的 数列， 每个 元素 都是 确定 的（包括 n-> 无穷 时）， 则 qa2 , qa3 , qa4 …… qan 都是 确定 的 ， qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan 也是 确定 的， 即 qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan -> A₀ ， A₀ 也是 确定 的， 是 唯一值 。
可以 具体 一点 来 看 ， 可以把 qa2 , qa3 , qa4 …… qan 分为 2 组， 一组 大于等于 1， 积 记为 A1， 一组 小于 1， 积 记为 A2，
qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan = A1 * A2 -> A₀
这样， 就可以 分 下面 这些 情况 来看 ：
1 A1 = 无穷大， A2= 无穷小， A1 * A2 = 无穷大 * 无穷小 = 常量
2 A1 = 无穷大， A2= 常量， A1 * A2 = 无穷大 * 常量 = 无穷大， 不符题意， 不满足 qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan = A1 * A2 -> A₀ , A₀ ∈ [ 0 , B / b1 )
3 A1 = 常量， A2= 无穷小， A1 * A2 = 常量 * 无穷小 = 无穷小
4 A1 = 常量， A2 = 常量， A1 * A2 = 常量 * 常量 = 常量
5 A1 = 高阶无穷大， A2= 无穷小， A1 * A2 = 高阶无穷大 * 无穷小 = 无穷大， 不符题意， 不满足 qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan = A1 * A2 -> A₀ , A₀ ∈ [ 0 , B / b1 )
6 A1 = 无穷大， A2= 高阶无穷小， A1 * A2 = 无穷大 * 高阶无穷小 = 无穷小
严格的说， 这里的 A1 = 常量， 应该是 A1 -> 常量 。
其实 上面 我们 证明 的 是 无穷数列 的 情况， 没有 包括 有穷数列， 有穷数列 的 证明方法 和 无穷数列 一样 。
数列收敛 的 定义 是 “设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。”
我们 没有 按照 这个 定义 来 证明， 而是 直接使用了 “趋于 ->” ， 不过 也还可以吧 。
qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan -> A₀， 这里 是 “趋于 ->” ， 严格的说， 也可能 “等于”， 即 qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan = A₀
比如 当 n > N 时， qan = 1 ， 则 当 n -> 无穷 时， qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan = A₀
此时， an = a1 * qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan = a1 * A₀ ， 即 an = a1 * A₀
有穷数列 总是 “等于”， 即 n 最大 时， 最后一项 an = a1 * A₀
其实 这样 证明 还是 有问题 的， “每个 元素 都是 确定 的（包括 n-> 无穷 时）” 并不能 说明 an 趋于 唯一的 值 。 比如 在 正弦曲线 y = sin x 上 每隔 π / 10 取一个点， 以 这些 点 的 y 值 组成一个 数列 { pn } ， 当 n -> 无穷 时， pn 在 多个 值 上 周期性 跳跃， 并不 趋于 唯一的 值 。
所以， 这里， 我们要 重新 证明 ， 主要 是 解决 “跳跃” 问题 。
因为 qan <= qbn ， 可以 表示为 qan = qbn * tn , tn <= 1 ， 则
qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan = qb2 * t2 * qb3 * t3 * qb4 * t4 * …… * qbn * tn
= qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn * t2 * t3 * t4 * …… * tn
因为 qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn -> B / b1 ， B / b1 为 常量， 是一个 确定的 值 ，
因为 tn <= 1， 也就是 t2 , t3 , t4 …… tn 都 小于等于 1 ， 当 n -> 无穷 时， t2 * t3 * t4 * …… * tn 是 无数个 小于等于 1 的 正数 相乘， 可知 无数个 小于等于 1 的 正数 相乘 的 结果 是 1 或 无穷小 或 趋于 小于 1 的 一个 确定 的 值 ， 此处 证明 略 。
于是， 情况 就 明朗 了 ，
当 t2 * t3 * t4 * …… * tn = 1 时，
an = a1 * qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan
= a1 * qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn * t2 * t3 * t4 * …… * tn
-> a1 * B / b1 * 1
= a1 * B / b1
an -> a1 * B / b1
当 t2 * t3 * t4 * …… * tn = 无穷小 ，
an = a1 * qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan
= a1 * qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn * t2 * t3 * t4 * …… * tn
-> a1 * B / b1 * 无穷小
= 无穷小
an -> 0
当 t2 * t3 * t4 * …… * tn -> T ， T < 1 ， T 为 常量， 是 一个 确定的 值 ，
an = a1 * qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan
= a1 * qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn * t2 * t3 * t4 * …… * tn
-> a1 * B / b1 * T
= A < a1 * B / b1
an -> A ， A = a1 * B / b1 * T ， A 为 常量， 是 一个 确定的 值
无论 哪一种 情况 ， { an } 都 收敛， 证明完毕 。
我 是 听着 周深 的 《起风了》 写 这段 证明 的 ， 纪念一下 。 2021/09/30 2:23
本来 是 研究 qb2, qb3, qb4 …… qbn 的 关系， 推导出 qa2, qa3, qa4 …… qan 的 关系， 进而 推导出 a1, a2, a3, a4 …… an 的 递进关系， 但 这样 分析起来 情况 挺复杂的，
根据 数列收敛 的 定义 “对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立” ，
但 当 n > N 时， 元素 并不一定 单调递减 或 单调递增， 而是 可能 跳跃起伏 。 比如 当 n -> 无穷 时， bn -> B， 但 当 n > N 时， bn 可能 从 B 的 上方 跳跃到 B 的 下方， 或 从 B 的 下方 跳跃到 B 的 上方 ， 即使 在 B 的 同一侧， 也会 起伏， 也就是 时而增 时而减， 不是 单调递减 或 单调递增 。
但 根据 数列收敛 的 定义 “对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立” ， 我们 可以 从 { bn } 中 挑选 一些 一个比一个小 （一个比一个大） 的 元素， 组成 一个 新数列， 这个 新数列 单调递减 （单调递增） ， 也可以 沿 这个 思路 来 证明 这题 。
凡此种种， 总的来说， 做 这题 考虑了 比较多 的 东西， 也 引出了 一些 问题 ：
当 n -> 无穷 时， pn 在 多个值上 跳跃， 何为 “跳跃”？ 除了 跳跃，还有 什么 原因 会 让 an 不趋于 唯一的 值 ？ 若 an 单调递减 ， 是否可以认为 an 趋于 唯一的值 ？ 任意数列 单调递减， 会不会 趋于 唯一的 值？ 这些用 数学语言 描述 起来 是 很麻烦 的 。
这些 问题 尚待澄清 。
当然， 引出 的 问题 还有 其它的， 比如， 无数个 小于 1 的 正数 相乘 结果 一定 是 0 吗 ？ 会不会 也 存在 极限， 极限 大于 0 ？
当然， 0 也是 极限， 这里 “会不会 也 存在 极限” 的 意思 是， 无数个 小于 1 的 正数 相乘 会不会 不是 无限制 的 趋于 0， 而是 会 渐进渐 “停留” 在 一个 大于 0 的 值 ？
无数个 小于 1 的 正数 相乘 可以 趋于 大于 0 的 值， 一定 是 趋于 一个 值 吗 ？ 会不会 在 多个 值 之间 跳跃 ？ 或是 在 无数个 值 上 跳跃 ？
当 n -> 无穷 时， qbn -> 1 ， 这里面 总 好像 有 什么 需要 搞清楚 的 。
还好 这题 只是 证明 数列 收敛， 不是 数列和 收敛 ， 不然 可能 要 牵扯出 调和级数 了 。