今天 （2021-09-23） 早上 看到了 网友 专业证伪 的 那道 几何题 ， 见 《我跟大家说一说三小这个题目怎么回事啊》 https://tieba.baidu.com/p/7549211005 的 1 楼 ，
在 《三小说过几次不来了还来，要不要脸？》 https://tieba.baidu.com/p/7548530388 的 5 楼， 网友 绝对公证 也 贴过 这个 题，
这 2 个 图 是 一个 题 。
这题 我 想了 一天 ， 早上 想了 2 个小时 ， 晚饭 和 晚上 想了 几个小时 。
一般来说， 就算 是 竞赛选手， 要 理解 这题 的 题意， 抓到 关键点 ， 也要 一个 小时， 当然， 也 可能 有 牛人 神童 天才 等 可以 更快的 做到， 这也是有可能的，哈哈 。
我 做题 很少， 对 各种题目 都 不太熟， 因此 会 慢一些 。
理解题意， 抓到 关键点 之后， 你 以为 真的 抓到 关键点 了 吗 ？ 呵呵 ， 当 你 开始 尝试 证明 的 时候， 你会发现，刚 抓到 的 关键点 丢了 ， 你 又 会 回去 整理提取 关键点， 然后， 屡抓屡丢 ， 屡丢屡抓 ……
乍一看 ， 这题 跟 其它 中学 几何题 差不多， 题目 也 不算 长 ， 但 理解题意 还是 要 一些 时间 的 。 把 题意 消化了， 熟悉了 题目 的 场景 后， 开始 思考 证明 方法， 会发现 和 平时 的 题目 不太 一样 ， 这题 找不到 “着力点”， 不能转变为 全等三角形 、直角三角形 、三角函数 、等腰三角形 、等边三角形 等 类型 来 证明 。 对顶角 内错角 同位角 同旁内角 …… 统统 不顶用 ， 相似三角形 的 利用 也 很有限 。
说是 有 外接圆 吧， 想 利用 圆心 和 半径 做点事， 但 圆心 和 半径 看起来 一点也不像 主角， BD 、CE 是 切线， 但 它们 的 “切线” 身份 也没什么 存在感 。
哎 ？ 这 明明 是 一道 中学 几何题 ……
哎 …… ？
哎 …… ？！
直观上， 感性的， 我们 可以 观察 和 推理 到 AM 和 AN 的 相等， 是 出于 某种 对称性 ， A 点 在 圆周 上 移动 过程中， 图形发生变化，而 AM = AN ， 看起来 是 某种 和 旋转有关 的 对称性 ， 但 有意思 的是， 外接圆 和 BD 、CE 是 固定的， 这样的话， 除了 AM 、AN ， 在 A 点 移动 的 过程 中 ， 其它 的 线段 和 图形 都是 此消彼长 的 互补关系 ， 并不对称 。
以我的习惯， 我 忍不住想 用 数学分析（微积分） 来 分析 它， 比如 当 A 点 趋近于 B 点 ， 或 A 点 趋近于 C 点 时， 或者 A 点 在 BC 线段 的 “上空” 正中时， 此时 当然 容易 证明 AM = AN 。
虽然 直观上， 我们 认同 BD 、CE 是 切线 ， BC = BD = CE 这些条件 创造了 某种 对称 和 “正交基础” ， 使得 A 点 在 移动过程 中， AM = AN ， 但 具体 的 原理 和 规律， 似乎 并不浮现 在 表象 上， 而是 隐秘 的 藏在 表象之中 。
从 表象 中 找出 隐藏 的 规律， 就 证明了 这题 。
但 这题 的 规律 似乎 不是 单纯 用 “形” 可以 描述 的 ， 也就是 这题 可能 不是 单纯 用 “形” 证明 的 。
这题 的 规律 可能 要用 “数” 来 描述 ， 也就是 ， 用 解析几何 来 证明 。
用 解析几何 的 话 ， 计算出 AM 、AN 长度 的 表达式 ， 证明 这 2 个 表达式 相等 。
理论上， 已知 三角形 的 三条边长， 可以 知道 三角形 的 三个角 ，以及 过 任一顶点 作 任一线段 和 对边 相交， 将 对边 分为 2 部分，可知 2 部分 的 长度 ， 反过来， 知道 对边 2 部分 的 长度 ， 也可以 知道 线段 在 顶点 分割 的 2 个 角 的 大小 。
或者 ， 已知 三角形 的 两条边长 和 一个角， 也可以 知道 三角形 内 的 全部情况 ， 比如 上述 的 各种 。
已知 三条边长， 计算 三个角 是 二次方程， 已知 三个顶点 的 坐标 计算 三个角 可能是 四次方程， 已知 三个顶点 的 坐标 和 一条边 就 简单一点，不用 四次方程， 二次方程 就可以 。 要计算 出 AM 、AN 的 表达式， 可能用到这些， 还可能用到 勾股定理 、三角和（差）角公式 。
二次方程 、四次方程 、勾股定理 、三角和（差）角公式 这些 结合起来 的 运算出 的 结果 可能是 一个 复杂 的 嵌套根式 ， 就是说 AM 、AN 可能是 2 个 复杂的 嵌套根式 。
接下来， 证明 这 2 个 嵌套根式 相等 。
运气好 的 话， 通过 对 表达式 的 变形（推导变换） 可以 证明 两者 相等 。
如果 对 表达式 变形 不能 证明 两者 相等， 这 就 麻烦了， 可以把 嵌套根式 展开为 泰勒级数 ， 但 这 只能 证明 两者接近， 以及 给出 在 多少位 以前 ， 两者 是 相等 的 ， 当然 这个 答案 有 无数个， 看 计算 的 精度 。
另外， 嵌套根式 的 f ( x₀ ) 的 导数 不一定 能 把 根号 消掉， 因此， 泰勒级数 的 每一项 里 可能 会有 根号， 这样 每一项 本身 就是 个 近似值 ， 这 就 很不爽快， 也 不太够格 。
我 认为 这题 没有 简易证明 。 繁复计算
这题 就像 一个 小圆石子， 小 而 弥坚， 你 很难 打碎它， 但是 它 也 不妨碍 你走路 ， 你跨过去 就行， 但是 你可以 慢慢琢磨它 。
这题 里面 隐藏 了 规律， 但 难题 背后 隐藏 的 规律， 需要 挖掘， 这些规律 挖掘出来以后 ， 有的 也许 价值 挺大，有的 似乎 没 什么 用场 。
但 我还是 同意 思维机器 说 的 “金子 需要 苦命 的 数学家 去 挖掘” 。
有趣 的是， 常用的 著名的 定理 往往 都 证明 简单， 比如 夹逼定理 洛必达法则 泰勒级数 各种 微积分运算法则 和 公式 ……
这题 的 难度 大于 四色定理 。
我 前几天 因为 三等分角 还有 其它不知什么原因 想起了 研究 三次方程 高次方程 代数方程 的 根 、复根 ， 又想到了 代数基本定理 ，
过去 的 两年 里 ， 我 比较多 关注 和 研究 微积分 ， 把 代数 忽略了 。
前几天 思维机器 说到 伽罗华根 准则 根本上 是 受到 塔塔利亚 发现 的 规律 的 启发 ， 突然觉得， 三次方程 、高次方程 、代数基本定理 这些 都 串起来 了 。
三次方程 、高次方程 、代数基本定理 这一串 是 代数 里 核心 的 一个部分， 也是 数学 里 核心 的 一个 部分 。
上面提到 AM AN 的 长度 是 嵌套根式， 这题 的 难度 等同于 三次方程 ， 大于 伽罗华根准则 和 代数基本定理 。