昨天看到 数学吧 《每日一题，day14》 https://tieba.baidu.com/p/7684856454 。
大家 先看看， 适当的时候 发 解题思路 。
本文 已 发到 反相吧 《数学吧《每日一题，day14》 从 A 点 到 B 点 有 多少 条 路径 ？》 https://tieba.baidu.com/p/7686683940 。
5 楼
解题思路 ：
组合数学 的 题目 不一定 能用 一个 公式 算出来， 但 可以 分出 若干种 情况， 每种情况 对应一个 公式， 用 多个公式 计算 。
比如 本题 可以 分为 这样 一些 情况 ：
最短路径 有 多少条 ？
长度 为 7 的 路径 有 多少条 ？ （ 路径长度 以 1 格 的 边长 为 单位， 1 格 的 边长 长度 为 1 ）
长度 为 8 的 路径 有 多少条 ？
长度 为 9 的 路径 有 多少条 ？
……
这些 情况 每一个 归纳 为 一个 公式， 行不行 ？
简单点， 把 题目 范围 缩小， 改成 “最短路径 有 多少条 ？” ， 能不能 归纳 成 一个 公式 来 计算 ？
应该够呛 。
看起来 本题 不能 归纳 为 公式 来 计算 。
我把 不能 归纳公式 的 现象 称为 “归纳障碍”， 或 “公式障碍” 。
说到这里， 我想到了 一个 有趣 的 点子 ： 群论 有 很多 粉丝， 在 知乎 上 天天 看到 群论 。 在 知乎 上， 群论 和 黎曼 的 地位光环 似乎 是 相当 的 ^ ^
那， 用 群论 来 证明 “最短路径 有 多少条 ？” 的 答案 能不能 归纳 为 公式 ， 怎么样 ？
或， 试用 群论 证明 本题 的 答案 能不能 归纳 为 公式 ？
或 ， 试用 群论 证明 哪些 数学问题 的 答案 不能 归纳 为 公式 ？
让 现在 的 人工智能 用 人的 思维 来 解 本题 是 比较 勉强 的， 人的 思维 比如 上面 说的 “分出 若干种 情况， 每种情况 对应一个 公式， 用 多个公式 计算” ， 这样 的 思路 。
因为 现在的 人工智能 能 识别 出 特征 相似 的 事物， 但是 不知道 特征 本身 的 意义 是 什么 。
虽然 不能 用 公式 计算， 但 本题 可以用 枚举法 做 。 注意， 枚举 不是 穷举 ， 穷举 是 不管什么 都 举一遍 ， 枚举 是 总结规律， 根据规律 枚举 。
也就是， 仍然 是 分出 若干种 情况， 每一种 情况 用 枚举法 。
枚举 可以由 计算机程序 来做， 比如 本题 的 枚举， 也是 数数， 但是 按一定 的 规则 来 数， 人 制定规则， 由 机器 来 数 。 本质上， 也可以说 这是 在 计算 一些 不能用 公式 计算 的 数列和 。
也可以说， 枚举 的 规则 也是 公式， 只不过 不能仅用 数学算式 表达， 要 逻辑 + 算式 表达 。
不过 以 本题 来说的话， 枚举 总结 规律 太费神， 也容易 遗漏 、出错 。 还是 穷举 来得快 。
但 如果 把 枚举 的 程序（算法） 写出来， 甚至可以推广到 n * n 的 点阵， 这就很有价值， 当 n 比较大 时， 枚举 的 时间复杂度 显著 小于 穷举 。
但 要把 枚举 的 规律 总结出来， 算法 、程序 写出来， 经过 理论论证 和 实践验证， 正确可靠， 这个 周期 （需要的时间） 就比较长 。
以 本题 来说， 只 考虑 4 * 4 点阵， 不考虑 n * n 点阵， 把 算法 设计出来， 程序写出来， 也要 三天 吧 ？ 要 经过 充分 的 论证 和 验证， 还要 更长 的 时间 。
如果 推广 到 n * n 点阵， 在 校园 里， 和 同学 老师 讨论 论证 一下， 十天 、半个月 、一个月 、一个学期 很快 就过去了 。
而 本题 写 一个 穷举法 程序 的 话， 让 贴吧 里 万能 的 吧友 写， 一个 小时 就 写好了 吧 ！ （哈哈）
5 楼 说到 “本质上， 也可以说 这是 在 计算 一些 不能用 公式 计算 的 数列和” ， 这里 的 数列和， 可能是 数列和， 也可能 是 数列元素， 有的 数列元素 本身 也是 一个 数列和 。
看个 例子 ：
如图， 问 每一层 有多少个 数字 ？
具体的说， 第 1 层 有 3 个 数字， 记为 a1 = 3， 第 2 层 有 6 个 数字， 记为 a2 = 6， 第 3 层 有 10 个 数字， 记为 a3 = 10 。
第 n 层 有多少个 数字， 记为 an， 也可以说， an 表示 第 n 层 的 数字 的 个数 。
问 ： an = ？
an 能否 归纳 为 公式 ？