AtCoder Beginner Contest 217 【A

比赛链接：https://atcoder.jp/contests/abc217/tasks

A - Lexicographic Order

题意

给出两个字符串 (s,t) ，若 (s) 字典序小于 (t) 输出 Yes ，否则输出 No 。

题解

模拟。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    string s, t;
    cin >> s >> t;
    cout << (s < t ? "Yes" : "No") << "
";
    return 0;
}

B - AtCoder Quiz

题意

给出 ABC 、ARC 、AGC 、AHC 四个字符串中的三个，输出剩下的那一个。

题解

模拟。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int x = 'B' ^ 'R' ^ 'G' ^ 'H';
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        string s;
        cin >> s;
        x ^= s[1];
    }
    cout << 'A' << char(x) << 'C' << "
";
    return 0;
}

C - Inverse of Permutation

题意

给出一个排列，依次输出 (1,2,dots,n) 的下标。

题解

模拟。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    vector<int> p(n);
    iota(p.begin(), p.end(), 0);
    sort(p.begin(), p.end(), [&](int x, int y) {
        return a[x] < a[y];
    });
    for (auto i : p) {
        cout << i + 1 << ' ';
    }
    return 0;
}

D - Cutting Woods

题意

有一根长为 (l) 米的木棒，从左端起每隔 (1) 米有一个标记，给出 (q) 次格式为 ((c_i, x_i)) 的询问：

• 若 (c_i = 1) ，将木棒从标记 (x_i) 处锯开
• 若 (c_i = 2) ，输出标记 (x_i) 所在木棒的长度，保证不曾从 (x_i) 处锯开过

题解

记录所有被锯开的标记，某个标记所在木棒的长度即左右最近被锯开的两个标记间的距离。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int l, q;
    cin >> l >> q;
    set<int> st{0, l};
    while (q--) {
        int c, x;
        cin >> c >> x;
        if (c == 1) {
            st.insert(x);            
        } else {
            auto it = st.upper_bound(x);
            cout << *it - *prev(it) << "
";
        }
    }
    return 0;
}

E - Sorting Queries

题意

开始时有一个空序列 (a) ，给出 (q) 次询问：

• 1 x ，将 (x) 添加至 (a) 末尾
• 2 ，输出序列 (a) 首部的元素
• 3 ，将序列 (a) 排为升序

题解

利用 queue 和 priority_queue 模拟。

1 x ，将 (x) 添加至 queue 末尾

2 ，输出 priority_queue 的首部，若其为空，输出 queue 的首部

3 ，把 queue 中的所有元素弹入 priority_queue 中

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> pque;
    queue<int> que;
    int q;
    cin >> q;
    while (q--) {
        int op;
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            int x;
            cin >> x;
            que.push(x);
        } else if (op == 2) {
            if (not pque.empty()) {
                cout << pque.top() << "
";
                pque.pop();
            } else {
                cout << que.front() << "
";
                que.pop();
            }
        } else {
            while (not que.empty()) {
                pque.push(que.front());
                que.pop();
            }
        }
    }
    return 0;
}

F - Make Pair

题意

有 (2n) 个学生站为一排，编号为 (1,2,dots,2n) ，给出这 (2n) 个学生中的 (m) 对好关系。

老师想要进行 (n) 次操作：

• 选择两个相邻且为好关系的学生，将他们移去，若留下间隙，两边的学生保持原次序合并

计算老师有多少种方案来进行这 (n) 次操作。

题解

区间 (dp) 。

设 (dp[l][r]) 为移去区间 ([l, r]) 所需进行的 (frac{(r - l + 1)}{2}) 次操作的方案数，显然区间长度 ((r - l + 1)) 须为 (2) 的倍数。

对于较大区间 ([l, r]) 的更新，可以通过枚举与 (l) 配对的点 (x) 来进行，若 ((l, x)) 为好关系，则有状态转移方程：

[dp[l][r] = dp[l + 1][x - 1] cdot dp[x + 1][r] cdot C_{p + q}^{p} ]

其中， (p = frac{(x - 1) - (l + 1) + 1}{2} + 1) ， (q = frac{r - (x + 1) + 1}{2}) ，即区间 ([l, x]) 和 ([x + 1, r]) 各自需要操作的次数。

因为移去 ((l, x)) 一定会先移去它们间的 ([l + 1, x- 1]) ，所以 (p) 次操作的方案数为 (dp[l + 1][x - 1]) ， (q) 次操作的方案数为 (dp[x + 1][r]) ，剩下所需决定的即 (p + q) 次操作的顺序关系。

因为方案数已包含在 (dp) 中，所以 (p) 次操作两两无差别， (q) 次操作两两无差别，答案即 (C_{p + q}^{p}(C_{p + q}^{q})) ，含义为从总共 (p + q) 个位置中选择 (p(q)) 个放置 (p(q)) 次操作。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

constexpr int N = 405;
constexpr int MOD = 998244353;

int norm(int x) { if (x < 0) { x += MOD; } if (x >= MOD) { x -= MOD; } return x; }
template<class T> T binpow(T a, int b) { T res = 1; for (; b; b /= 2, a *= a) { if (b % 2) { res *= a; } } return res; }

struct Z {
    int x;
    Z(int x = 0) : x(norm(x)) {}
    int val() const { return x; }
    Z operator-() const { return Z(norm(MOD - x)); }
    Z inv() const { assert(x != 0); return binpow(*this, MOD - 2); }
    Z &operator*=(const Z &rhs) { x = 1LL * x * rhs.x % MOD; return *this; }
    Z &operator+=(const Z &rhs) { x = norm(x + rhs.x); return *this; }
    Z &operator-=(const Z &rhs) { x = norm(x - rhs.x); return *this; }
    Z &operator/=(const Z &rhs) { return *this *= rhs.inv(); }
    friend Z operator*(const Z &lhs, const Z &rhs) { Z res = lhs; res *= rhs; return res; }
    friend Z operator+(const Z &lhs, const Z &rhs) { Z res = lhs; res += rhs; return res; }
    friend Z operator-(const Z &lhs, const Z &rhs) { Z res = lhs; res -= rhs; return res; }
    friend Z operator/(const Z &lhs, const Z &rhs) { Z res = lhs; res /= rhs; return res; }
};

struct Combination {
    vector<Z> fac, inv;

    Combination(int n) : fac(n), inv(n) {
        fac[0] = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i;
        inv[n - 1] = fac[n - 1].inv();
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1);
    }

    Z C(int n, int m){
        if(m < 0 or m > n) return 0;
        return fac[n] * inv[m] * inv[n - m];
    }
};

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    n *= 2;
    vector<vector<int>> edge(N, vector<int> (N));
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        edge[a][b] = true;
    }
    vector<vector<Z>> dp(N, vector<Z> (N));
    Combination C(N);
    for (int l = n; l >= 1; l--) {
        for (int r = l + 1; r <= n; r += 2) {
            for (int x = l + 1; x <= r; x += 2) {
                if (edge[l][x]) {
                    Z cur = 1;
                    if (l + 1 <= x - 1) {
                        cur *= dp[l + 1][x - 1];
                    }
                    if (x + 1 <= r) {
                        cur *= dp[x + 1][r];
                    }
                    int p = (l + 1 <= x - 1 ? ((x - 1) - (l + 1) + 1) / 2 : 0) + 1;
                    int q = (x + 1 <= r ? (r - (x + 1) + 1) / 2 : 0);
                    cur *= C.C(p + q, p);
                    dp[l][r] += cur;
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[1][n].val() << "
";
    return 0;
}

G - Groups

题意

给出两个数 (n, m) ，当 (k = 1, 2, dots, n) 时，计算：

• 将 (1) 到 (n) 分为 (k) 组，且模 (m) 相同的数不能分在一组的方案数

题解

数据范围较小，这里记录一下 (O_{(n^2)}) 的解法。

设 (dp[i][j]) 为前 (i) 个数分为 (j) 组的方案数，则有转移方程：

[dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j] imes (j - lfloor frac{(i - 1)}{m} floor) ]

含义为第 (i) 个数自成一组或分进一个不含同余数的组中。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

constexpr int MOD = 998244353;

int norm(int x) { if (x < 0) { x += MOD; } if (x >= MOD) { x -= MOD; } return x; }
template<class T> T binpow(T a, int b) { T res = 1; for (; b; b /= 2, a *= a) { if (b % 2) { res *= a; } } return res; }

struct Z {
    int x;
    Z(int x = 0) : x(norm(x)) {}
    int val() const { return x; }
    Z operator-() const { return Z(norm(MOD - x)); }
    Z inv() const { assert(x != 0); return binpow(*this, MOD - 2); }
    Z &operator*=(const Z &rhs) { x = 1LL * x * rhs.x % MOD; return *this; }
    Z &operator+=(const Z &rhs) { x = norm(x + rhs.x); return *this; }
    Z &operator-=(const Z &rhs) { x = norm(x - rhs.x); return *this; }
    Z &operator/=(const Z &rhs) { return *this *= rhs.inv(); }
    friend Z operator*(const Z &lhs, const Z &rhs) { Z res = lhs; res *= rhs; return res; }
    friend Z operator+(const Z &lhs, const Z &rhs) { Z res = lhs; res += rhs; return res; }
    friend Z operator-(const Z &lhs, const Z &rhs) { Z res = lhs; res -= rhs; return res; }
    friend Z operator/(const Z &lhs, const Z &rhs) { Z res = lhs; res /= rhs; return res; }
};

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<vector<Z>> dp(n + 1, vector<Z> (n + 1));
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j] * (j - (i - 1) / m);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << dp[n][i].val() << "
";
    }
    return 0;
}

参考

https://atcoder.jp/contests/abc217/submissions/25575778

https://codeforces.com/blog/entry/94543?#comment-835878

https://codeforces.com/blog/entry/94543?#comment-835926

https://atcoder.jp/contests/abc217/editorial/2603