题目描述
小A走到一个山脚下,准备给自己造一个小屋。这时候,小A的朋友(op,又叫管理员)打开了创造模式,然后飞到
山顶放了格水。于是小A面前出现了一个瀑布。作为平民的小A只好老实巴交地爬山堵水。那么问题来了:我们把这
个瀑布看成是一个n个节点的树,每个节点有权值(爬上去的代价)。小A要选择一些节点,以其权值和作为代价将
这些点删除(堵上),使得根节点与所有叶子结点不连通。问最小代价。不过到这还没结束。小A的朋友觉得这样
子太便宜小A了,于是他还会不断地修改地形,使得某个节点的权值发生变化。不过到这还没结束。小A觉得朋友做
得太绝了,于是放弃了分离所有叶子节点的方案。取而代之的是,每次他只要在某个子树中(和子树之外的点完全
无关)。于是他找到你。
输入
输入文件第一行包含一个数n,表示树的大小。
接下来一行包含n个数,表示第i个点的权值。
接下来n-1行每行包含两个数fr,to。表示书中有一条边(fr,to)。
接下来一行一个整数,表示操作的个数。
接下来m行每行表示一个操作,若该行第一个数为Q,则表示询问操作,后面跟一个参数x,表示对应子树的根;若
为C,则表示修改操作,后面接两个参数x,to,表示将点x的权值加上to。
n<=200000,保证任意to都为非负数
输出
对于每次询问操作,输出对应的答案,答案之间用换行隔开。
样例输入
4
4 3 2 1
1 2
1 3
4 2
4
Q 1
Q 2
C 4 10
Q 1
4 3 2 1
1 2
1 3
4 2
4
Q 1
Q 2
C 4 10
Q 1
样例输出
3
1
4
1
4
考虑没有修改的情况:
我们可以树形$DP$,$f[i]$表示堵住以$i$为根的子树的最小代价,显然可以得到转移方程$f[i]=min(val[i],sum f[to])$其中$val[i]$表示删除$i$点的代价,$to$表示$i$的子节点。我们设$g[i]$表示点$i$所有轻儿子的$f$之和,那么$f[i]=min(val[i],g[i]+f[son[i]])$其中$son[i]$为$i$的重儿子。我们将后面的$f[son[i]]$展开,那么$f[i]=min(val[i],g[i]+min(val[son[i]],g[son[i]]+f[son[son[i]]]))$。可以发现$f[i]$的最小值就是从$i$开始的连续一段重链的$g$值$+$这段重链链尾的$val$值。我们用图更形象地说明:
![](https://img2018.cnblogs.com/blog/1373899/201903/1373899-20190301102419973-310960004.png)
其中第一行为重链,下面为他们各自的轻儿子(一个点的所有轻儿子用一个点代表)。
那么最小值就是一段$g$与一个$val$的和的最小值。这个东西实际上就是固定左端点的最小连续子段和(我们称之为最小连续左端和)。
我们树链剖分后用线段树维护每条重链的最小连续左端和即可。
现在考虑有修改操作的情况:
假设修改点为$x$,那么首先会影响$x$所在重链的最小连续左端和即$x$所在重链链头(假设为$u$)的$f$值,也就会进一步影响$u$的父节点的$g$值及$u$的父节点所在重链的最小连续左端和,以此类推会影响到根节点。我们从$x$节点开始往根方向修改沿途重链上的点维护的信息即可。查询时直接查询以查询点为左端点的最小连续左端和。注意只有修改$x$时修改的是$val$值,其他被修改的点都修改的是$g$值。
#include<set> #include<map> #include<queue> #include<stack> #include<cmath> #include<vector> #include<bitset> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; ll v[200010]; ll g[200010]; ll f[200010]; int tot; int n,m; int head[200010]; int next[400010]; int to[400010]; int son[200010]; int top[200010]; int fa[200010]; int bot[200010]; int size[200010]; int s[200010]; int pos[200010]; int q[200010]; int num; int x,y; ll z; char ch[3]; struct miku { ll sum; ll mn; }t[800010]; void add(int x,int y) { tot++; next[tot]=head[x]; head[x]=tot; to[tot]=y; } void dfs(int x) { size[x]=1; for(int i=head[x];i;i=next[i]) { if(to[i]!=fa[x]) { fa[to[i]]=x; dfs(to[i]); size[x]+=size[to[i]]; if(size[to[i]]>size[son[x]]) { son[x]=to[i]; } } } } void dfs2(int x,int tp) { s[x]=++num; q[num]=x; f[x]=v[x]; top[x]=tp; if(son[x]) { dfs2(son[x],tp); bot[x]=bot[son[x]]; } for(int i=head[x];i;i=next[i]) { if(to[i]!=fa[x]&&to[i]!=son[x]) { dfs2(to[i],to[i]); g[x]+=f[to[i]]; } } if(!son[x]) { bot[x]=x; } else { f[x]=min(f[x],g[x]+f[son[x]]); } } void pushup(int rt) { int ls=rt<<1; int rs=rt<<1|1; t[rt].sum=t[ls].sum+t[rs].sum; t[rt].mn=min(t[ls].sum+t[rs].mn,t[ls].mn); } void build(int rt,int l,int r) { if(l==r) { int x=q[l]; pos[x]=rt; t[rt].sum=g[x]; t[rt].mn=v[x]; return ; } int mid=(l+r)>>1; build(rt<<1,l,mid); build(rt<<1|1,mid+1,r); pushup(rt); } void updata(int x) { int rt=pos[x]>>1; while(rt) { pushup(rt); rt>>=1; } } miku query(int rt,int l,int r,int L,int R) { if(L<=l&&r<=R) { return t[rt]; } miku ls,rs,res; int mid=(l+r)>>1; if(L>mid) { return query(rt<<1|1,mid+1,r,L,R); } else if(R<=mid) { return query(rt<<1,l,mid,L,R); } else { ls=query(rt<<1,l,mid,L,R); rs=query(rt<<1|1,mid+1,r,L,R); res.sum=ls.sum+rs.sum; res.mn=min(ls.sum+rs.mn,ls.mn); return res; } } void change(int x,ll val) { int now=x; while(x) { ll cnt=query(1,1,n,s[top[x]],s[bot[x]]).mn; if(x==now) { t[pos[x]].mn+=val; updata(x); } else { t[pos[x]].sum+=val; updata(x); } val=query(1,1,n,s[top[x]],s[bot[x]]).mn-cnt; x=fa[top[x]]; } } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%lld",&v[i]); } for(int i=1;i<n;i++) { scanf("%d%d",&x,&y); add(x,y); add(y,x); } dfs(1); dfs2(1,1); build(1,1,n); scanf("%d",&m); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%s",ch); if(ch[0]=='C') { scanf("%d%lld",&x,&z); change(x,z); } else { scanf("%d",&x); printf("%lld ",query(1,1,n,s[x],s[bot[x]]).mn); } } }