[WC2018]州区划分——FWT+DP+FST

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[WC2018]州区划分

题目大意：给n个点的一个无向图，点有点权，要求将这n个点划分成若干个部分，每部分合法当且仅当这部分中所有点之间的边不能构成欧拉回路。对于一种划分方案，第i个部分的权值为这一部分中所有点的权值和比上前i部分所有点的权值和的p次方，一种划分方案的权值为每部分的权值之积。要求求出所有划分方案的权值之和。

我们设f[S]为选中点的状态集合为S时的答案(其中S为二进制状态)，设T为S集合最后一次划分出的集合且要保证集合T合法，那么可以得到转移方程(其中sum代表集合中点权和)：

$f[S]=sumlimits_{Tsubseteq S}^{ }f[S-T]*(frac{sum[T]}{sum[S]})^p$

这个子集DP直接枚举子集的时间复杂度是O(3^n)，显然过不去，但我们发现这个DP相当于枚举两个集合i,j满足$icap j= varnothing  ,icup j=S$

这个如果只有子集并的条件可以用直接用FWT来优化，但还要求交集为空的条件就不能一维DP优化了。

我们假设一个点能被划分到多个部分中，那么DP状态就变成了二维：f[i][S]表示选取点集合为S，每部分包含的点数和为i的答案。

设g[i][S]表示集合为S，选取点数为i时sum[S]的p次方，如果S不合法或|S|!=i，那么g[i][S]就为0。(其中|S|表示S集合中的点数即二进制状态中1的个数)

那么转移方程就变成了：

$f[i][S]=sumlimits_{j=1}^{i}sumlimits_{Tsubseteq S}^{ }frac{f[j][S-T]*g[i-j][T]}{sum[S]^p}$

这样我们对f数组和g数组进行FWT转化成子集和表达式然后DP，每次乘上sum[S]^p的逆元即可，最后的答案为f[|U|][U]，其中U为全集。时间复杂度为O(2^n*n^2)。

再来说一下如何判欧拉回路：

这个很简单只要一个图联通且每个点的度数都是偶数，那么这个图就是欧拉回路，对于每个二进制状态预处理判断即可，用bfs或dfs或并查集判断都可以。预处理时间复杂度同样是O(2^n*n^2)。

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#include<queue>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[22][2100000];
int g[22][2100000];
int n,m,p;
const int mod=998244353;
int x[10000];
int y[10000];
int s[30];
int fa[30];
int v[22];
int w[2100000];
int cnt;
int mask;
int lg[2100000];
int inv[2100000];
inline int find(int x)
{
    if(fa[x]==x)
    {
        return x;
    }
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
inline void FWT(int *f,int opt)
{
    for(int k=2;k<=(1<<n);k<<=1)
    {
        for(int i=0,t=k>>1;i<(1<<n);i+=k)
        {
            for(int j=i;j<i+t;j++)
            {
                if(opt==1)
                {
                	f[j+t]=(f[j+t]+f[j])%mod;
                }
                else
                { 
                	f[j+t]=(f[j+t]-f[j]+mod)%mod;
                }
            }
        }
    }
}
inline int quick_pow(int x,int y)
{
    int res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        {
            res=1ll*res*x%mod;
        }
        y>>=1;
        x=1ll*x*x%mod;
    }
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&v[i]);
    }
    mask=(1<<n)-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        lg[1<<(i-1)]=i;
    }
    for(int i=1;i<=mask;i++)
    {	
        int sum=0;
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(i&(1<<j))
            {
                w[i]+=v[j+1];
                sum++;
            }
        }
        int num=sum;
        inv[i]=quick_pow(w[i],mod-2);
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
        	fa[j]=j;
        	s[j]=0;
        }
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
        	if(((1<<(x[j]-1))&i)&&((1<<(y[j]-1))&i))
        	{
        		int u=find(x[j]);
        		int v=find(y[j]);
        		if(u!=v)
        		{
        			sum--;
        			fa[u]=v;
        		}
        		s[x[j]]++;
        		s[y[j]]++;
        	}
        }
        int flag=0;
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
        	if((1<<j)&i)
        	{
        		flag|=(s[j+1]&1);
        	}
        }
        if(flag||sum>1)
        {
        	g[num][i]=quick_pow(w[i],p);
        }
    }
    f[0][0]=1;
    FWT(f[0],1);
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        FWT(g[i],1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            for(int k=0;k<=mask;k++)
            {
                f[i][k]+=1ll*g[j][k]*f[i-j][k]%mod;
                f[i][k]%=mod;
            }
        }
        FWT(f[i],-1);
        for(int k=0;k<=mask;k++)
        {
            f[i][k]=1ll*f[i][k]*quick_pow(inv[k],p)%mod;
        }
        if(i<n)
        {
            FWT(f[i],1);
        }
    }
    printf("%d",f[n][mask]);
}