最大公约数的算法

算法的原理：

　　对于辗转相除法：i和j的最大公约数，也就是i和j都能够除断它。换句话讲，就是i比j的n倍多的那个数k(i = j*n + k，即i % j = k)应该也是最大公约数的倍数。所以就能转换成求k和j的最大公约数。同理，对于更相减损术，同样的道理，i比j大的部分也是最大公约数的倍数。

代码：

　　

/**
 * 求最大公约数算法汇总
 *
 */
public class GCD {
    public static void main(String[] args) {
        GCD gcd = new GCD();
        gcd.gcd1(43, 45);
        gcd.gcd2(64, 80);
        gcd.gcd3(45, 81);
    }
    
    
    /**
     * 第三种方法：更相减损术 + 辗转相除法，即
     * 当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)
     * 当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)
     * 当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)
     * 当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此时a-b必然是偶数，又可以继续进行移位运算。
     */
    private void gcd3(int i, int j) {
        System.out.println("The greatest common divisor is:" + doubleGcd(i, j));
    }
    
    private int doubleGcd(int i, int j) {
        if (i % j == 0) {
            return j;
        } 
        
        if ((i&1) == 0 && (j&1) == 0) {
            // 都是偶数
            return doubleGcd(i >> 1, j >> 1) << 1;
        } else if ((i&1) == 0 && (j&1) != 0) {
            // i为偶数,j为奇数
            return doubleGcd(i >> 1, j);
        } else if ((i&1) != 0 && (j&1) == 0) {
            // i为奇数,j为偶数
            return doubleGcd(i, j >> 1);
        } else {
            // i和j都为奇数
            return doubleGcd(i, i > j ? i - j : j - i);
        }
    }


    /**
     * 第二种方法：九章算术的更相减损术，即如果i>j,那么先用i-j得到其差k.然后将问题转换成求k和m的最大公约数.依此类推,直到差为0.
     * 这个方法也有一个问题,就是如果i和j想差的比较大,那么这个方法存在较高的时间复杂度.
     */
    private void gcd2(int i, int j) {
        if (i < j) {
            gcd2(j, i);
            return;
        }
        
        int k = i - j;
        if (k == 0) {
            System.out.println("The greatest common divisor is:" + j);
            return;
        } else {
            if (k >= j) {
                gcd2(k, j);
            } else {
                gcd2(j, k);
            }
        }
    }

    /**
     * 第一种方法：辗转相除法, 即如果i>j, 那么先用i%j得到余数k.将问题转换成求k和m的最大公约数.依此类推,直到余数为0.
     * 该方法有一个比较大的问题问题是取模的性能。
     */
    private void gcd1(int i, int j) {
        // 确保n>m
        if (i < j) {
            gcd1(j, i);
            return;
        }
        
        int k = i%j;
        if (k == 0) {
            System.out.println("The greatest common divisor is:" + j);
            return;
        } else {
            if (k >= j) {
                gcd1(k, j);
            } else {
                gcd1(j, k);
            }
        }
    }
}