所谓梅森素，是指形如$2^p-1$的数，其中$pin prime, 常记为M_p。如果梅森素为素数，就成为梅森素数$
对于形如$ a^{n}-1(ngeqslant{2}) $的素数，当且仅当$ a=2 $时才可能存在。因为$ a^{n}-1 $总能够被$ a-1 $整除，除非$ a-1=1 $不然$ a^{n}-1 $就是合数。
$$ecause x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+cdots+x^{2}+x+1)$$
逆否命题：如果对整数$ a geqslant 2 $与$ ngeqslant 2 $，$ a^n-1 $是素数，则$ a=2 , nin prime$。
$2^{p}-1$为素数中满足的数 $p=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941cdots$。
完全数：一个数的各个真因素之和等于自身的数，如6=1+2+3，28=1+2+4+7+14。
欧几里得完全数公式：如果$2^{p}-1$是素数，则$2^{p-1}(2^{p}-1)$是完全数。
$$egin{align*} ecause &2^{p}-1为素数\ herefore &q=2^{p-1}(2^{p}-1)的真因数为：1,2,4,cdots,2^{p-1} 与 q,2q,4q,cdots,2^{p-2}q\ ecause &1+x+x^{2}+cdots+x^{n-1}=frac{x^{n}-1}{x-1}\ herefore &真因数之和=frac{2^{p}-1}{2-1} + q(frac{2^{p-1}-1}{2-1})\&qquadqquad=q + q(2^{p-1}-1)\&qquadqquad=2^{p-1}qend{align*}$$
以下用$sigma(n)$表示1~n的所有因数之和，下面是一些它的性质。
$ cdot sigma(mn) = sigma(m)*sigma(n) quad 当gcd (n,m)=1$
$ cdot sigma(p^{k})=1+p+p^{2}+cdots+p^{k}=frac{p^{k+1}-1}{p-1}$
欧拉完全数定理：如果$n$是偶完全数，则$ n=2^{p-1}(2^{p}-1) $其中$ 2^p-1 $是梅森素数。
假设$n$是偶完全数，则$n=2^km, kgeqslant1且m是奇数$。
$$egin{align*}sigma(n)&=sigma(2^km)\&=sigma(2^k)sigma(m)\&=(2^{k+1}-1)sigma(m)\ 而sigma(n)&=n+n=2n\&=2^{k+1}m\ herefore 2^{k+1}m &=(2^{k+1}-1)sigma(m)end{align*}$$
$$ herefore 2^{k+1}整除 sigma(m) , 设sigma(m) = 2^{k+1}c, 并带入上面的等式\ 得到 2^{k+1}m=(2^{k+1}-1)2^{k+1}c \ 化简得 m=(2^{k+1}-1)c\ 假设c > 1, 则m至少有3个因数1, c, n\ sigma(m) = 2^{k+1}c geqslant 1+c+m = 1+c+(2^{k+1}-1)c\ 化简得 2^{k+1}cgeqslant 2^{k+1}c + 1, 即0geq 1\ 因此c = 1, 即m=(2^{k+1}-1), sigma(m) = 2^{k+1} = 1+m(m为素数)\ n = 2^k(2^{k+1}-1), 2^{k+1}-1为素数Rightarrow k+1为素数\ herefore 当n为偶完全数时 n=2^{p-1}(2^p-1),其中 2^p-1 是梅森素数$$
但直到今天，对于奇完全数，还没有人发现。