数论函数前缀和合集

01 - (sumlimits_{i=1}^{n} [gcd(i,m)=1])

索引：n以内与m互质的数的个数

求：(sumlimits_{i=1}^{n} [gcd(i,m)=1])

1. 由 (sumlimits_{d|n}mu(d)=[n=1]) 得
   (sumlimits_{i=1}^{n} sumlimits_{d|gcd(i,m)}mu(d))
2. 交换求和顺序，得
   (sumlimits_{d|m}mu(d)lfloorfrac{n}{d} floor)
3. 注意到当d有平方因子的时候 (mu(d)=0) ，那么求出 (m) 的所有的质因子然后容斥（其实莫比乌斯函数本身就代表容斥）
4. 64位整数范围内的质因子不到20种，容斥的复杂度不超过1e6单次。

当n与m相等时， (varphi(n)=sumlimits_{i=1}^{n} [gcd(i,n)=1]) ，为欧拉函数的定义。所以可以得到 (varphi(n)=sumlimits_{d|n}mu(d)frac{n}{d}) 即 (frac{varphi(n)}{n}=sumlimits_{d|n}frac{mu(d)}{d})

仔细想想欧拉函数好像也是这样求的。