(变形Kruskal)AcWing 346. 走廊泼水节

346. 走廊泼水节 - AcWing题库https://www.acwing.com/problem/content/348/

题目描述

话说，中中带领的OIER们打算举行一次冬季泼水节，当然这是要秘密进行的，绝对不可以让中中知道。不过中中可是老江湖了，当然很快就发现了我们的小阴谋，于是他准备好水枪迫不及待的想要加入我们了。 
我们一共有N个OIER打算参加这个泼水节，同时很凑巧的是正好有N个水龙头(至于为什么，我不解释)。N个水龙头之间正好有N-1条小道，并且每个水龙头都可以经过小道到达其他水龙头(这是一棵树，你应该懂的..)。但是OIER门为了迎接中中的挑战，决定修建一些个道路(至于怎么修，秘密~),使得每个水龙头到每个水龙头之间都有一条直接的道路连接(也就是构成一个完全图呗~)。但是OIER门很懒得，并且记性也不好，他们只会去走那N-1条小道，并且希望所有水龙头之间修建的道路，都要大于两个水龙头之前连接的所有小道(小道当然要是最短的了)。所以神COW们，帮那些OIER们计算一下吧，修建的那些道路总长度最短是多少，毕竟修建道路是要破费的~~ 

输入

 本题为多组数据~
 第一行t，表示有t组测试数据
 对于每组数据
 第一行N，表示水龙头的个数（当然也是OIER的个数）；
 2到N行，每行三个整数X,Y,Z；表示水龙头X和水龙头Y有一条长度为Z的小道

输出

 对于每组数据，输出一个整数，表示修建的所有道路总长度的最短值。

样例输入

2
3
1 2 2
1 3 3
4
1 2 3
2 3 4
3 4 5 

样例输出

4
17 

提示

【数据范围】
 每个测试点最多10组测试数据
 50% n<=1500;
 100% n<=6000
 100% z<=100
【样例解释】
第一组数据，在2和3之间修建一条长度为4的道路，是这棵树变成一个完全图，且原来的树依然是这个图的唯一最小生成树.

分析题意可知, 需要我们求出将一棵带权树增加带权边,使之成为完全图所需的新边最小权值和,

同时需要满足最小生成树为原树

这道题在常规Kruskal的基础上, 

我们需要顾虑所给最小生成树的唯一性和不变性,

按照边权从小往大合并的过程(从小往大, 这样我们才能清晰地知道每一步的底线是什么), 抽象为下面两个完全图A与B合并的模型

双方点数分别为nA, nB, 我们此时正要连所给的边(图中红色的虚线,权值为w), 因为给我们的是个树, 所以集合A与B之间有且仅有一条边(再多就出现环了,与题意矛盾), 我们需要做的就是使双方连成完全图, 即再连(nA*nB-1)条边,并且为了保证最终最小树不变, 我们加的每条边都得大于w

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 6010;
int f[N], s[N];
struct edge{
	int a,b;
	int w;
	bool operator < (const edge& y) const{
		return w < y.w;
	}
}e[N];

int find(int x){
	if(f[x] != x) f[x] = find(f[x]);
	return f[x];
}

int main()
{
	int t, n;
	cin >> t;
	
	while(t --)
	{
		cin>>n;
		
		for(int i = 1; i <= n; i ++){	//初始化祖先和集合的大小
			f[i] = i, s[i] = 1;
		}
		
		int a,b,w;
		for(int i = 0; i < n-1; i ++){
			cin >> a >> b >> w;
			e[i] = {a, b, w};
		}
		sort(e, e+n-1);
		
		int res = 0;
		for(int i = 0; i < n-1; i ++)
		{
			int fa = find(e[i].a), fb = find(e[i].b);
			if(fa != fb){
				res += (e[i].w+1) * (s[fa]*s[fb]-1); //★ 
				s[fb] += s[fa];	//只维护祖宗所代表的集合大小
				f[fa] = f[fb];
			}
		}
		cout << res << endl;
	}
	return 0;
}