一些定义
PL
树的路径长度，即树根到每个叶节点的距离之和。
WPL
树的带权路径长度，即树根到每个叶节点的距离与每个叶结点权值的乘积之和。
哈夫曼树，也叫 Huffman 树，就是 WPL 最短的一种最优多叉树。
哈夫曼树的构造
对于哈夫曼树的构造，我们以二叉哈夫曼树为例：
我们每次选择两棵根节点权值最小的树，将它们的根节点合并成一棵新树。
原来的两个根节点成为为新树的根节点的儿子。新树的根节点权值为合并的两个根节点权值之和。
假设我们要构造一棵初始有五个节点的二叉哈夫曼树，权值分别为 (1,2,4,6,8)，则它们的构建过程如下：
（我腾讯文档没有 VIP 所以下载不了高清图片，只能将就看吧 qwq）
注意，哈夫曼树中允许多个点有相同的权值。
关于 K 叉哈夫曼树的构造
假设我们要构造一棵 (k) 叉哈夫曼树 ((k>2))。
根据以上对哈夫曼树构造的原理，可以发现，这个构造方法是基于贪心的思想。每次取出最小的 (k) 个节点来合并成新的节点。
但是如果最后一步合并时，可选节点的数量不足 (k) 个，就会出现合并后的哈夫曼树根节点的儿子数小于 (k) 的情况。
此时它就不是一颗 WPL 最小的最优 (k) 叉树。因为此时我们随便取一个叶节点当做根节点的儿子，都可使 (sum (w_i imes l_i)) 的值变小。
所以我们要满足 ((k-1)mid (n-1)) 这个条件时，才能使构造的 (k) 叉哈夫曼树达到最优。
而要满足这个条件，我们可以不断向图中加入权值为 (0) 的节点。显然 (0) 节点一定会先合并，这样可以使有权节点的深度降低。
哈夫曼编码
哈夫曼编码的原则是：编码从叶子节点到根节点，译码从根节点到叶子节点。
但其实这句话对下面的内容并没有什么帮助。
我们还是以二叉哈夫曼树为例。
对于一棵二叉哈夫曼树，我们从根节点开始，对左子树编码 (0)，对右子树编码 (1)，直到遍历完整棵树。
此时我们再从根节点出发，将路径上的编码排列起来，一直到某个根节点，此时的编码串就是该根节点的哈夫曼编码。
举个例子，我们有一串电文 AMCADEDDMCCAD，需要将其翻译成 01 串，并使其尽量短。
我们统计每个字符的出现次数，可得到如下数据：
(egin{array}{ccc} E & M & C & A & D \ hline 1 & 2 & 3 & 3 & 4\ end{array})
我们将每种字符的出现次数作为节点的权值，可建造一棵如图所示的二叉哈夫曼树：
所以可得到各个字符的哈夫曼编码：
(egin{array}{c|cc} E&001\ M&000\ C&01\ A&10\ D&11\ end{array})
根据哈夫曼编码的定义，我们也可以看出，每种字符的编码长度之和为 PL，而每种字符的编码长度与其出现次数的乘积之和为 WPL。
此时的 PL 不一定是最短的，但 WPL 一定是最短的，只有这样才能使原串翻译后的 01 串最短。
当然上面只是说二叉哈夫曼树，其编码也只包含两种字符。假若要用 (k) 进制数来表示一个字符串，我们可以将其建成 (k) 叉哈夫曼树 ((kge 2))。
对于代码的具体实现，结合下面的例题来说。
例题
[NOI2015] 荷马史诗
有一个由 (n) 种字符组成的字串，给出这 (n) 种字符的出现次数，用 (k) 进制数来表示这个字符串。
求出这个 (k) 进制数的最短长度，并求出此时编码最长的字符的最短编码长度。
NOI 出模板题（
直接根据每种字符的出现次数建 (k) 叉哈夫曼树。
第一问就是 WPL 的长度，第二问就是在树中深度最大的字符的深度减一。
至于实现，我们运用优先队列存储每个节点的权值和深度，并按权值为第一关键字，深度为第二关键字从大到小排序。
首先将每个节点自己作为一棵树，放到优先队列中，并不断加入 (0) 节点直到满足条件为止。
每次取出 (k) 个节点来合并，同时统计 WPL。最后优先队列中只剩一个节点，输出统计结果与其深度减一即可。
struct node{
int w,h;
bool operator < (const node &a) const{
return a.w==w?h>a.h:w>a.w;
}
};
signed main(){
n=read();k=read();priority_queue<node> q;
for(int i=1,w;i<=n;i++) w=read(),q.push((node){w,1});
while((q.size()-1)%(k-1)) q.push((node){0,1});
while(q.size()>=k){
int h=-1,w=0;
for(int i=1;i<=k;i++){
node t=q.top();q.pop();
h=max(h,t.h);w+=t.w;
}
ans+=w;
q.push((node){w,h+1});
}
printf("%lld
%lld
",ans,q.top().h-1);
return 0;
}
写在后面
没啦，啥都没啦。