最小生成树及最大生成树（算法及正确性简单证明）

最小生成树

kruskal

kruskal算法步骤：

1. 将所有边按权值从小到大排序
2. 将边按序加入最小生成树
   a. 如果该边连接的两点已经属于一个集合，则舍弃该边
   b. 如果该边连接的两点不属于一个集合，则加入该边，并将所连两点用并查集合并
3. 当加入n-1条边后得到的就是该图的最小生成树

这么做时间复杂度为(O(Mlog M)),M为边的总数，这是给所有边按权排序的时间复杂度，之后并查集的时间复杂度我不太清楚，大概在(O(Nlog N))。
这里用到了贪心思想，也许你会怀疑：为什么这么做是对的？
证明应该分为两部分：首先证能连成树，再证这种连法是权值最小的。
首先第一部分十分显然，一个n个点的连通图一定能连成一棵树。
主要来看第二部分：
如果当前边连接的两点不在一个集合里，按照kruskal算法应该加入该边，我们假设舍弃会有更好的结果，最后得到一棵不含该边的最小生成树，我们此时再把该边加入，一定会出现一个环，在该环上不可能所有边比这条边小，如果所有边比这条边小，那么会与我们在加入该边时这两个点时不连通情况矛盾，那么这个环上一定有边的权值是大于等于该边的，如果我们用这条边把权值大于等于该边的边替换，得到的生成树权值不会大于原生成树，所以能加入时加入这一策略是对的。由此证明了贪心的正确性。

prim

prim算法步骤我懒得写了，提一嘴时间复杂度是(O(Nlog N))，接着我简单证明一下正确性吧
prim算法也是运用贪心的思想。要证明prim算法是对的，关键是要证，对于一个集合，离集合最近的边一定是在最小生成树上。
算了，懒得证了，哪天有时间再补吧

最大生成树

顾名思义，最大生成树就是权值最大的生成树。
我们很容易想到：按照最小生成树的做法反过来做不就好了？
但这样对吗？
按照以上最小生成树贪心正确性的证明，我认为这样是对的。
当然，有一种更保险的做法，把所有边边权改为(X-W)，(X)是我们赋的一个很大的数，再跑一遍最小生成树，得到的结果是(X*(N-1)-sum W)，因为(X*(N-1))是一个常数，所以减去该常数取反得到的一定是最小生成树权值和。