http://www.bilibili.com/video/av14325327/
懒得听我bb的可以去看视频 这位大爷讲的太好辣orz
我突然意识到我一个还挣扎在NOIP一等奖线上的弱鸡竟然突然学会了
赶紧码着别忘了。。。
一、莫比乌斯反演是什么
如果有两个定义在Z+上的函数F(x)和G(x)满足
则根据这个式子我们可以发现一些性质 如下图：
所以以后我们遇到计算G(x)不好算(或者更实际一点，直接算就TLE)的时候，我们可以考虑先计算F(x) 用F(x)来计算G(x)
所以我们要对上面那个式子进行一下变形
观察表格的规律 直观的来讲变形后式子应该形如
其中μ(x)是我们强行定义的一个函数 当然并不是我们定义的 是前人定义的 所以它正式的名字叫做莫比乌斯函数
然后我们做一下换元 令T=x/d
就可以让最后μ函数中不含x 最后的表达式为
（并非严谨证明 详细过程可见百度百科http://baike.baidu.com/link?url=gpiZ99LcvuK_Vf7K4KszIWRgmmRQkcIpyir9IgzBkyaA3FgVCAG7mouZNVzkZgqyYWdNYUpIwFOixrM6fc8fb_#3 ）
现在 我们研究的重点就跑到了这个μ(d)上面
到目前为止 我们掌握的性质就只有由观察得到的：μ(d)的值域为{-1,0,1}（当然严谨数学证明依然见百度百科）
如：
μ(1) = 1
μ(2) = -1
μ(3) = -1
μ(4) = 0
μ(5) = -1
μ(6) = 1
（上述6个莫比乌斯函数的取值是由表格得到的）
我很想给出莫比乌斯函数的定义 但是我一个前MO选手现NOIP选手自己都看不懂
所以只能给一个通俗的解释
(1) d = 1时，μ(d) = 1
(2) d = p1 × p2 × … × pk ，（其中p1,p2..pk是互不相同的质数） 则μ(d) = (-1)^k （-1的k次方）
(3) 其余情况 μ(d) = 0
根据定义 莫比乌斯函数显然有一个很重要的性质
莫比乌斯函数是积性函数
即对于任何的a,b∈Z+
有μ(ab)=μ(a)μ(b)
具体证明。。。代入就好了吧
由此引入我们的下一个板块
二、怎么求莫比乌斯函数
根据莫比乌斯函数的积性和它与素数间的关系
我们可以用线性筛求素数的方法来求莫比乌斯函数
bool vis[MAXN]; int primes[MAXN]; int miu[MAXN]; int tot; int getmiu(int lim) { miu[1]=1; for(int i=2;i<=lim;i++) { if(!vis[i]) { primes[tot++]=i; miu[i]=-1; } for(int j=0;j<tot;j++) { int k=i*primes[j]; if(k>lim)break; vis[k]=true; if(i%primes[j]) //i不是primes[j]的整数倍时,i*primes[j]就不会包含相同质因子. miu[k]=-miu[i]; //此时根据其积性函数的特性得 miu[k]=miu[i]*miu[primes[j]],因为primes[j]是质数,miu值为-1 else break; } } }
很短 压一下行也就10行 于是大家会产生疑惑 就是下一个板块——
三、莫比乌斯函数在OI中的应用
由于很多很难的数学题推导过程写得比代码还长
我们这里先看一道入门题BZOJ2440
题意：求第k个没有完全平方因子（此处1不算完全平方数）的数
k的范围是10^9
分析：有人说答案应该小于2*k 那这道题就是一个很裸的二分了
二分判定的时候要判“小于等于mid且无完全平方因子的数的个数”
判断的时候 我们可以发现“没有完全平方因子”的意思其实是“所有质因数的指数全为奇”
于是题目变为 求小于等于mid的质因数指数都为1的数的个数
容斥原理搞一下答案就是n-奇数个质数的平方的倍数的个数+偶数个质数的平方的倍数的个数
也就是
（显然i如果大于根号n并不存在）
要说还有什么值得注意的地方 就是这题爆longlong 要用unsigned longlong
还有就是数据太大 我们的线性筛用不了 只能采用普通筛法
/************************************************************** Problem: 2440 User: Ez3real Language: C++ Result: Accepted Time:4192 ms Memory:2068 kb ****************************************************************/ #include<cstdio> #include<iostream> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstring> #include<vector> #include<queue> using namespace std; #define LL unsigned long long const int Max=100010; const LL INF=2e16+7; LL mou[Max]; void init() { for(LL i=2; i<Max; i++) { if(!mou[i]) { mou[i]=i; for(LL j=i*i; j<Max; j+=i) mou[j]=i; } } mou[1]=1; for(int i=2; i<Max; i++) { if(i/mou[i]%mou[i]==0) mou[i]=0; else mou[i]=-mou[i/mou[i]]; } } int k; LL getnum(LL middle) { LL ans=0; for(LL i=1; i*i<=middle; i++) { ans+=mou[i]*(middle/(i*i)); } return ans; } int main() { init(); int t; cin>>t; while(t--) { scanf("%d",&k); LL left=1,right=INF; while(left<=right) { int middle=(left+right)/2; if(getnum(middle)<k) left=middle+1; else right=middle-1; } cout<<left<<' '; } return 0; }
未完待续