http://poj.org/problem?id=2478
题意：给定一个数x，求<=x的数的欧拉函数值的和。（x<=10^6）
题解：数据范围比较大，像poj1248一样的做法是不可行的了。
首先我们要了解欧拉函数的几个性质和推论：（今天跟好基友Konjak魔芋讨论了好久。。）
推论（一）: phi(p^k)=(p-1)*p^(k-1)
证明：
令n=p^k,小于等于n的正整数数中，所有p的倍数共有p^k /p = p^(k-1)个。
1~n出去p的倍数，所以phi(n)= n - p^(k-1) = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1).得证。
引用自scy的讲解。
性质（一）:若ab互质，则phi(a*b)=phi(a)*phi(b)。即：欧拉函数是积性函数.
证明：
对任意数n都可以唯一分解成n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*...*pn^an(pi为素数).
则E(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn)=(p1^a1*p2^a2*p3^a3*...*pn^an)*[(p1-1)*(p2-1)*(p3-1)*...*(pn-1)]/(p1*p2*p3*...*pn)
=(p1-1)*p1^(a1-1)*(p2-1)*p2^(a2-1)*...*(pn-1)*pn^(an-1) ---（1）
=E(p1^a1)*E(p2^a2)*E(p3^a3)*...*E(pn^an)所以当ab互质的时候E(a*b)=E(a)*E(b)
注明：E（）即是phi（）。
推论（二）：当b是质数，a%b==0，phi(a*b)=phi(a)*b
这个的证明可以代入到上面性质一的证明之中：
b=gcd(a,b),指数为q。
在（1）中，即E（a*b）中有(b-1)*b^(q-1)
若E(a*b)拆分为E(a)*E(b)，则多乘了一次（b-1）*b^(-1)，那么我们为了方程两边相等，得到了：
E(a*b)=E(a)*E(b)*b/(b-1)
因为b是素数，phi(b)=b-1
所以E(a*b)=E(a)*b。
另一种证明：phi(a*b)=phi(a)*b,a%b==0
a=k*b^n,gcd(k,b)==1
phi(a*b)=phi(k*b^(n+1))=phi(k)*(b-1)*b^n
phi(k)=phi(k*b^n)/phi(b)=phi(k*b^n)/((b-1)*(b^(n-1)))
约分，则phi(a*b)=phi(k*b^n)*b=phi(a)*b
推论（三）： 当n为奇数时，E（2n）=E（n）
2是一个质数，n为奇数则一定与2互质，E（2n）=E(2)*E（n），其中E(2)=1。
推论（四）： 当n是一个大于2的正整数时，E（n）是偶数
若n是素数，则E(n)=n-1，又因为素数中偶数只有2，则n-1一定是偶数
若n是合数，则可以分解质因数，E(n)=E(p1)*E(p2)*…… 根据上一步的结论，E(n)一定是偶数。
有了上面的基础，我们就可以轻易地推出O（n）的方法解决这个问题了，也就是在欧拉筛中顺便更新欧拉函数值。
具体看代码吧，非常明白的了。
今天还做了几题欧拉函数的题，真是觉得自己不是完全懂欧拉函数的。现在把这道题学到的东西归纳一下，才发现一道代码这么短的题有这么多的知识。。
1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<cstring> 4 #include<iostream> 5 using namespace std; 6 7 typedef long long LL; 8 const int Max=(int)1e6; 9 const int N=Max+100; 10 LL pl; 11 LL p[N],phi[N],sum[N]; 12 bool vis[N]; 13 14 void eular() 15 { 16 memset(vis,0,sizeof(vis)); 17 pl=0; 18 for(int i=2;i<=Max;i++) 19 { 20 if(!vis[i]) p[++pl]=i,phi[i]=i-1; 21 for(int j=1;j<=pl;j++) 22 { 23 if(i*p[j]>Max) break; 24 vis[i*p[j]]=1; 25 if((i%p[j])==0) 26 { 27 phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j]; 28 break; 29 } 30 else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1); 31 } 32 } 33 } 34 35 int main() 36 { 37 // freopen("a.in","r",stdin); 38 // freopen("a.out","w",stdout); 39 eular(); 40 sum[2]=1; 41 for(LL i=3;i<=Max;i++) sum[i]=sum[i-1]+phi[i]; 42 while(1) 43 { 44 LL x; 45 scanf("%I64d",&x); 46 if(!x) return 0; 47 printf("%I64d ",sum[x]); 48 } 49 return 0; 50 }