【HDU 4992】 Primitive Roots （原根）

Primitive Roots

 

Description

We say that integer x, 0 < x < n, is a primitive root modulo n if and only if the minimum positive integer y which makes x ^y = 1 (mod n) true is φ(n) .Here φ(n) is an arithmetic function that counts the totatives of n, that is, the positive integers less than or equal to n that are relatively prime to n. Write a program which given any positive integer n( 2 <= n < 1000000) outputs all primitive roots of n in ascending order.

Input

Multi test cases. 
Each line of the input contains a positive integer n. Input is terminated by the end-of-file seperator.

Output

For each n, outputs all primitive roots of n in ascending order in a single line, if there is no primitive root for n just print -1 in a single line.

Sample Input

4
25

Sample Output

3
2 3 8 12 13 17 22 23

 

【题意】

　　求n的所有原根，若没有就输出-1(n<=10^6)

 

【分析】

　　

求出n的所有原根，不存在原根输出-1。

原根的定义题目已经给出，对于n的原根x，则满足x的y次幂模n等于1的最小y是n的欧拉函数值phi(n)，也就是小于等于n且与n互质的个数。

官方的题解里面说暴力求出一个原根来，然后利用结论：

如果g是模m的原根，整数d>=0，则g的d次幂是模m的原根的一个充要条件是d和phi(m)互质。

d暴力枚举：

一个是如果gcd(g, m)=1，且g^d=1(mod m)，则d为phi(m)的一个因子。换句话说如果g是m的原根，那么对于phi(m)的所有因子d（不包含phi(m)本身），g^d=1(mod m)是不成立的。我们可以通过枚举phi(m)的质因子以及g^phi(m)=1(mod m)是否成立来判断g是否是模m的原根。

然后有些不存在原根的数字利用另一条性质排除：

模m有原根的充要条件是m=2,4,p^n, 2p^n，p为奇质数，n任意正整数。

如果m没有满足上述条件，就直接输出-1。

http://blog.csdn.net/hongrock/article/details/39179291

 代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
#define Maxn 1000010

int phi[Maxn],pri[Maxn],pl;
bool q[Maxn],qs[Maxn];

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

void get_phi(int mx)
{
    pl=0;
    memset(q,1,sizeof(q));
    memset(qs,0,sizeof(qs));
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=mx;i++)
    {
        if(q[i]) pri[++pl]=i,qs[i]=i==2?0:1,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=pl;j++)
        {
            if(i*pri[j]>mx) break;
            q[i*pri[j]]=0;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                if(qs[i]) qs[i*pri[j]]=1;
            }
            else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
            if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
    for(int i=mx/2;i>=1;i--) if(qs[i]) qs[2*i]=1;
    qs[2]=1;qs[4]=1;
}

int qpow(int x,int y,int p)
{
    LL ans=1,xx=x,pp=p;
    while(y)
    {
        if(y&1) ans=(ans*xx)%pp;
        xx=(xx*xx)%pp;
        y>>=1;
    }
    return (int)ans;
}

int np[Maxn],nl;
void div(int x)
{
    nl=0;
    for(int i=1;pri[i]*pri[i]<=x;i++) if(x%pri[i]==0)
    {
        np[++nl]=pri[i];
        while(x%pri[i]==0) x/=pri[i];
    }
    if(x>1) np[++nl]=x;
}

int ffind(int n)
{
    div(phi[n]);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(qpow(i,phi[n],n)!=1) continue;
        bool ok=1;
        for(int j=1;j<=nl;j++)
        {
            if(qpow(i,phi[n]/np[j],n)==1) {ok=0;break;}
        }
        if(!ok) continue;
        return i;
    }
    return -1;
}

int op[Maxn];

void output(int g,int n)
{
    op[0]=0;
    op[++op[0]]=g;
    LL M=(LL)n,now=(LL)g,gg=(LL)g;
    for(int i=2;i<phi[n];i++)
    {
        now=(now*gg)%M;
        if(gcd(i,phi[n])==1) op[++op[0]]=(int)now;
    }
}

int main()
{
    get_phi(1000000);
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        if(!qs[n]) {printf("-1
");continue;}
        int g=ffind(n);
        output(g,n);
        sort(op+1,op+op[0]+1);
        for(int i=1;i<=op[0];i++) printf("%d ",op[i]);
        printf("
");
    }
    return 0;
}

2016-09-06 16:39:31