【BZOJ 1191】 [Apio2010]特别行动队 （斜率优化）

dsy1911: [Apio2010]特别行动队

【题目描述】

有n个数，分成连续的若干段，每段的分数为a*x^2+b*x+c（a，b，c是给出的常数），其中x为该段的各个数的和。求如何分才能使得各个段的分数的总和最大。

【输入格式】 

第1行:1个整数N (1 <= N <= 1000000)。

第2行：3个整数a，b，c（-5<=a<=-1,|b|<=10000000,|c|<=10000000

下来N个整数，每个数的范围为[1,100]。

【输出格式】 

    一个整数，各段分数总和的值最大。

【分析】

　　设s[i]为i的前缀和。

　　dp方程： f[i]=f[j]+a*(s[i]-s[j])^2+b(s[i]-s[j])+c

　　即 f[i]=-2a*s[i]*s[j]+a*s[j]^2-b*s[j]+f[j]+a*s[i]^2+b*s[i]+c

　　化成斜率优化标准形式，维护一个右上凸包即可。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
#define Maxn 1000010
#define LL long long

LL w[Maxn],s[Maxn];
LL a,b,c;

struct node
{
    LL x,y;
}t[Maxn];int len=0;

LL f[Maxn];

bool check(int x,int y,int k)
{
    LL kk=k;
    return kk*(t[y].x-t[x].x)<=(t[y].y-t[x].y);
}

bool check2(int x,int y,int z)
{
    return (t[z].x-t[y].x)*(t[y].y-t[x].y)<=(t[y].x-t[x].x)*(t[z].y-t[y].y);
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
    s[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&w[i]);
        s[i]=s[i-1]+w[i];
    }
    int st;
    t[++len].x=0;t[len].y=0;st=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(st<len&&check(st,st+1,2*a*s[i])) st++;
        f[i]=-2*a*s[i]*t[st].x+t[st].y+a*s[i]*s[i]+b*s[i]+c;
        t[0].x=s[i];t[0].y=a*s[i]*s[i]-b*s[i]+f[i];
        while(st<len&&check2(len-1,len,0)) len--;
        t[++len]=t[0];
    }
    printf("%lld
",f[n]);
    return 0;
}

2016-09-19 20:45:07