codevs1288 埃及分数(IDA*)

1288 埃及分数

 

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 题目等级 : 钻石 Diamond

 

 

题目描述 Description

在古埃及，人们使用单位分数的和(形如1/a的, a是自然数)表示一切有理数。 如：2/3=1/2+1/6,但不允许2/3=1/3+1/3,因为加数中有相同的。 对于一个分数a/b,表示方法有很多种，但是哪种最好呢？ 首先，加数少的比加数多的好，其次，加数个数相同的，最小的分数越大越 好。 如： 19/45=1/3 + 1/12 + 1/180 19/45=1/3 + 1/15 + 1/45 19/45=1/3 + 1/18 + 1/30, 19/45=1/4 + 1/6 + 1/180 19/45=1/5 + 1/6 + 1/18. 最好的是最后一种，因为1/18比1/180,1/45,1/30,1/180都大。 给出a,b(0<a<b<1000),编程计算最好的表达方式。

输入描述 Input Description

a b

输出描述 Output Description

若干个数，自小到大排列，依次是单位分数的分母。

样例输入 Sample Input

19 45

样例输出 Sample Output

5 6 18

/*
经典基础IDA*
搜索无指定界限所以手动规定。因为要求分母尽量小，所以先找最小分母做下界
然后规定层数迭代搜 ans存分母 
因为从小到大依次搜，层数加深，第一次找到的一定最优。 
估价函数:若扩展到i层时,前i个分数之和为c/d,第i个分数为1/e
因为分母递增，所以接下来至少还需要>(a/b-c/d)/(1/e)个分数,总和才能到a/b.
此估价函数可以估计出最少多少步可以到达解,也就是说限定了层数。 
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define N 10001
#define ll long long

using namespace std;

int minn;
ll a,b,deep;
ll ans[N],v[N];

inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;    
}

inline ll gcd(ll x,ll y)
{
    if(x<y) x^=y,y^=x,x^=y;
    int tmp;
    while(y){
        tmp=x%y;x=y;y=tmp;
    }return x;
}

inline bool better(int d)
{
    for(int i=d;i>=0;i--)
      return ans[i]==-1 || v[i]<ans[i];
    return false;
}

inline int get(ll x,ll y)//当前下界 
{
    for(int i=2;;++i) if(y<x*i) return i;
}

bool IDA(int d,int minn,ll aa,ll bb)
{
    if(d==deep)
    {
        if(bb%aa) return false;//分子必须是1.因为已经约分，不必但心aa不为1 
        v[d]=bb/aa;
        if(better(d)) memcpy(ans,v,sizeof(ll)*(d+1)); 
        return true;
    }
    bool flag=false;
    minn=std::max(minn,get(aa,bb));//也算剪枝，minn在不断增大 
    for(int i=minn;;++i)
    {
        if(bb*(deep-d+1)<=i*aa) break;
//估价函数:因为i在增大,所以如果剩下的deep-d+1个分数全部都是1/i,加起来仍然不超过aa/bb，则无解,需要阔搜索层数 
        v[d]=i;
        ll b2=bb*i,a2=aa*i-bb;//计算aa/bb-1/i
        ll g=gcd(a2,b2);
        if(IDA(d+1,minn+1,a2/g,b2/g)) flag=true;
    }
    return flag;
}

int main()
{
    a=read();b=read();
    minn=get(a,b);
    for(deep=1;;deep++)
    {
        memset(ans,-1,sizeof ans);//don't forget
        if(IDA(0,get(a,b),a,b))//get 得到搜索下界 
          break;
    }
    for(int i=0;i<=deep;++i) printf("%d ",ans[i]);
    return 0;
}