开车旅行 2012年NOIP全国联赛提高组(倍增+set)

开车旅行

 

2012年NOIP全国联赛提高组

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 题目等级 : 钻石 Diamond

 

 

题目描述 Description

小A 和小B决定利用假期外出旅行，他们将想去的城市从1到N 编号，且编号较小的城市在编号较大的城市的西边，已知各个城市的海拔高度互不相同，记城市 i的海拔高度为Hi，城市 i 和城市 j 之间的距离 d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值，即d[i, j] = |Hi − Hj|。

旅行过程中，小A 和小B轮流开车，第一天小A 开车，之后每天轮换一次。他们计划选择一个城市 S 作为起点，一直向东行驶，并且最多行驶 X 公里就结束旅行。小 A 和小B的驾驶风格不同，小 B 总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地，而小 A 总是沿着前进方向选择第二近的城市作为目的地（注意：本题中如果当前城市到两个城市的距离相同，则认为离海拔低的那个城市更近）。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的城市，或者到达目的地会使行驶的总距离超出X公里，他们就会结束旅行。

在启程之前，小A 想知道两个问题：

1．对于一个给定的 X=X0，从哪一个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小（如果小 B的行驶路程为0，此时的比值可视为无穷大，且两个无穷大视为相等）。如果从多个城市出发，小A 开车行驶的路程总数与小B行驶的路程总数的比值都最小，则输出海拔最高的那个城市。

2.对任意给定的 X=Xi和出发城市 Si，小 A 开车行驶的路程总数以及小 B 行驶的路程总数。

输入描述 Input Description

第一行包含一个整数 N，表示城市的数目。

第二行有 N 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示城市 1 到城市 N 的海拔高度，即H1，H2，……，Hn，且每个Hi都是不同的。

第三行包含一个整数 X0。

第四行为一个整数 M，表示给定M组Si和 Xi。

接下来的M行，每行包含2个整数Si和Xi，表示从城市 Si出发，最多行驶Xi公里。

输出描述 Output Description

输出共M+1 行。

第一行包含一个整数S0，表示对于给定的X0，从编号为S0的城市出发，小A开车行驶的路程总数与小B行驶的路程总数的比值最小。

接下来的 M 行，每行包含 2 个整数，之间用一个空格隔开，依次表示在给定的 Si和Xi下小A行驶的里程总数和小B 行驶的里程总数。

样例输入 Sample Input

【样例1】

4

2 3 1 4

3

4

1 3

2 3

3 3

4 3

【样例2】

10

4 5 6 1 2 3 7 8 9 10

7

10

1 7

2 7

3 7

4 7

5 7

6 7

7 7

8 7

9 7

10 7

样例输出 Sample Output

【样例1】

1

1 1

2 0

0 0

0 0

【样例2】

2

3 2

2 4

2 1

2 4

5 1

5 1

2 1

2 0

0 0

0 0

数据范围及提示 Data Size & Hint

【输入输出样例1说明】

各个城市的海拔高度以及两个城市间的距离如上图所示。

如果从城市1出发， 可以到达的城市为2,3,4，这几个城市与城市 1的距离分别为 1,1,2，但是由于城市3的海拔高度低于城市 2，所以我们认为城市 3离城市 1最近，城市 2离城市1 第二近，所以小 A 会走到城市 2。到达城市 2 后，前面可以到达的城市为 3,4，这两个城市与城市 2 的距离分别为 2,1，所以城市 4离城市 2最近，因此小 B 会走到城市 4。到达城市4后，前面已没有可到达的城市，所以旅行结束。

如果从城市2出发，可以到达的城市为3,4，这两个城市与城市 2 的距离分别为 2,1，由于城市3离城市2第二近，所以小A会走到城市 3。到达城市3后，前面尚未旅行的城市为4，所以城市 4 离城市 3 最近，但是如果要到达城市 4，则总路程为 2+3=5>3，所以小 B 会直接在城市3结束旅行。

如果从城市3出发，可以到达的城市为4，由于没有离城市3 第二近的城市，因此旅行还未开始就结束了。

如果从城市4出发，没有可以到达的城市，因此旅行还未开始就结束了。

【输入输出样例2说明】

当 X=7时，

如果从城市1出发，则路线为 1 -> 2 -> 3 -> 8 -> 9，小A 走的距离为1+2=3，小B走的距离为 1+1=2。（在城市 1 时，距离小 A 最近的城市是 2 和 6，但是城市 2 的海拔更高，视为与城市1第二近的城市，所以小A 最终选择城市 2；走到9后，小A只有城市10 可以走，没有第2选择可以选，所以没法做出选择，结束旅行）

如果从城市2出发，则路线为 2 -> 6 -> 7  ，小A 和小B走的距离分别为 2，4。

如果从城市3出发，则路线为 3 -> 8 -> 9，小A和小B走的距离分别为 2，1。

如果从城市4出发，则路线为 4 -> 6 -> 7，小A和小B走的距离分别为 2，4。

如果从城市5出发，则路线为 5 -> 7 -> 8  ，小A 和小B走的距离分别为 5，1。

如果从城市6出发，则路线为 6 -> 8 -> 9，小A和小B走的距离分别为 5，1。

如果从城市7出发，则路线为 7 -> 9 -> 10，小A 和小B走的距离分别为 2，1。

如果从城市8出发，则路线为 8 -> 10，小A 和小B走的距离分别为2，0。

如果从城市 9 出发，则路线为 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 0，0（旅行一开始就结束了）。

如果从城市10出发，则路线为 10，小A 和小B 走的距离分别为0，0。

从城市 2 或者城市 4 出发小 A 行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值都最小，但是城市2的海拔更高，所以输出第一行为2。

 

【数据范围】 

对于30%的数据，有1≤N≤20，1≤M≤20；

对于40%的数据，有1≤N≤100，1≤M≤100；

对于50%的数据，有1≤N≤100，1≤M≤1,000；

对于70%的数据，有1≤N≤1,000，1≤M≤10,000；

对于100%的数据，有1≤N≤100,000， 1≤M≤10,000， -1,000,000,000≤Hi≤1,000,000,000，0≤X0≤1,000,000,000，1≤Si≤N，0≤Xi≤1,000,000,000，数据保证Hi互不相同。

/*
70暴力 n^2处理当前点之后距离该点最近和次近的点
然后模拟 
必须要不厌其烦的手造各种情况的数据才能保证正确性！！
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>

#define N 1007
#define inf 0x3f3f3f3f

using namespace std;
int n,m,k,ans,cnt,x0,A,temp;
int f[N],tmp[N],h[N],next1[N],next2[N];
int dis[N][N];
bool vis[N][N];

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}

int main()
{
    n=read();int x,y,z;
    for(int i=1;i<=n;i++) h[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++)
      dis[i][j]=dis[j][i]=abs(h[i]-h[j]);
      
    memset(f,127/3,sizeof f);int cur;
    memset(tmp,127/3,sizeof tmp);
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
    {
        cur=0;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            if(f[i]==dis[i][j] && cur)
            {
                if(h[cur]>h[j]) cur=j;
            }
            if(f[i]>dis[i][j]) cur=j,f[i]=dis[i][j];
        }
        vis[i][cur]=true;next1[i]=cur;cur=0;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            if(tmp[i]==dis[i][j] && cur)
            {
                if(!vis[i][j] && h[cur]>h[j]) cur=j;
            }
            if(tmp[i]>dis[i][j] && !vis[i][j]) cur=j,tmp[i]=dis[i][j];
        }
        next2[i]=cur;
    }
    f[n]=0,tmp[n-1]=tmp[n]=0;next1[n]=n+1,next2[n]=n+1;
    
    x0=read();m=read();double answer=inf,c=0.0;cnt=0;int mh=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        x=i;y=x0;
        ans=0;temp=0;cnt=0;
        while(x<=n)
        {
            cnt++;
            if(cnt%2==1)
            {
                if(tmp[x] && x<=n)
                {
                    ans+=tmp[x];
                    if(y-ans-temp<0){ans-=tmp[x];break;}
                    x=next2[x];continue;
                }
                if(x==n-1) break;
            }
            else
            {
                if(f[x] && x<=n)
                {
                    temp+=f[x];
                    if(y-temp-ans<0){temp-=f[x];break;}
                    x=next1[x];continue;
                }    
                else break;        
            }
        }
        x=i;y=x0;
        if(temp==0) continue;
        else c=ans*1.0/temp;
        if(answer>c || answer==c && h[i]>mh)
        {
            mh=h[i];
            answer=c,A=i;
        } 
    }
    cout<<A<<endl;
    
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        x=read();y=read();
        ans=0;temp=0;cnt=0;
        while(x<=n)
        {
            cnt++;
            if(cnt%2==1)
            {
                if(tmp[x] && x<=n)
                {
                    ans+=tmp[x];
                    if(y-ans-temp<0){ans-=tmp[x];break;}
                    x=next2[x];continue;
                }
                if(x==n-1) break;
            }
            else
            {
                if(f[x] && x<=n)
                {
                    temp+=f[x];
                    if(y-temp-ans<0){temp-=f[x];break;}
                    x=next1[x];continue;
                }    
                else break;        
            }
        }
        cout<<ans<<" "<<temp<<endl;cnt=0;
    }
    return 0;
}

/*
考虑如何优化n^2预处理
需要查询当前点之后与当前高度差最近的，可以用从后往前插入set实现二分查找
因为距离相同的高度尽量小，所以set先插前驱再插后继。 

考虑如何优化n^2+n*m 模拟
把AB各走一次看做一步。 
预处理A，B走i这个点2^j步距离以及AB走完当前步到达的位置。
分别记为fa[i][j],fb[i][j],f[i][j] 倍增处理即可。 
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<set>
#include<algorithm>

#define maxn 100007

using namespace std;
int N,x0,M,S,x1;
long long nexta[maxn],nextb[maxn],f[maxn][22];
long long fa[maxn][22],fb[maxn][22];
struct city{
    int pos,high;
    bool operator < (const city &x) const{
            return high<x.high;
    }
}c[maxn];
set<city>s;
struct node{
    int pos,dif;
    bool operator < (const node &x) const{
            if(dif!=x.dif) return dif<x.dif;
            return c[pos].high<c[x.pos].high;
    }
}t[5];

inline void Find(int i)
{
    set<city> :: iterator it=s.find(c[i]);
    int add=0;
    if (it!=s.begin())
    {
        --it;
        t[++add]=(node){
            it->pos,abs(it->high-c[i].high)
        };
        if (it!=s.begin())
        {
            --it;
            t[++add]=(node){
                it->pos,abs(it->high-c[i].high)
            };++it;
            
        }++it;
    }
    if ((++it)!=s.end())
    {
        t[++add]=(node){
            it->pos,abs(it->high-c[i].high)
        };
        if ((++it)!=s.end()) t[++add]=(node){
            it->pos,abs(it->high-c[i].high)
        };
    }
    sort(t+1,t+add+1);nextb[i]=t[1].pos;
    if(add==1) return;nexta[i]=t[2].pos;
}

inline void Query(int St,int X,long long &ta,long long &tb)
{
    for(int i=19;~i;i--)
      if(f[St][i] && fa[St][i]+fb[St][i]<=X)
        {
            ta+=fa[St][i];tb+=fb[St][i];
            X-=fa[St][i]+fb[St][i];St=f[St][i];
        }
    int posa=nexta[St];
    if(!posa) return;
    int dis=abs(c[posa].high-c[St].high);
    if(dis<=X) ta+=dis;
}

int main()
{
    ios :: sync_with_stdio(false);
    cin >> N;
    for(int i=1;i<=N;i++) 
      cin>>c[i].high,c[i].pos=i;
    for(int i=N;i;i--)
    {
        s.insert(c[i]);
        if(i^N) Find(i);
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        int pos1=nexta[i],pos2=nextb[pos1];
        fa[i][0]=pos1?abs(c[pos1].high-c[i].high):0;
        fb[i][0]=pos2?abs(c[pos2].high-c[pos1].high):0;
        f[i][0]=pos2;
    }
    for(int j=1;j<20;j++)
      for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
            fa[i][j]=fa[i][j-1]+fa[f[i][j-1]][j-1];
            fb[i][j]=fb[i][j-1]+fb[f[i][j-1]][j-1];
        }

    cin >> x0;
    int ans = 0;
    long long ansa = 1e15, ansb = 0ll;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        long long ta=0ll,tb=0ll;
        Query(i,x0,ta,tb);
        if(tb && (!ans || ansa*tb>ansb*ta))
        {
            ansa=ta;ansb=tb;ans=i;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    
    for(cin>>M;M--;)
    {
        cin>>S>>x1;
        long long ta=0ll,tb=0ll;
        Query(S,x1,ta,tb);
        cout<<ta<<" "<<tb<<endl;
    }
    return 0;
}