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  • 数据结构-图-经典算法(一)

    参考资料

    http://blog.csdn.net/weinierbian/article/details/8059129

    http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html

    百度百科

    一、最小生成树算法

    给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树.

    常见的两种算法是:Kruskal算法、Prim算法 

    Kruskal算法简述

    假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网,则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为:先构造一个只含 n 个顶点,而边集为空的子图,若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点,则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后,从网的边集 E 中选取一条权值最小的边,若该条边的两个顶点分属不同的树,则将其加入子图,也就是说,将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树;反之,若该条边的两个顶点已落在同一棵树上,则不可取,而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推,直至森林中只有一棵树,也即子图中含有 n-1条边为止。

    Prim算法简述

    1).输入:一个加权连通图,其中顶点集合为V,边集合为E;
    2).初始化:Vnew= {x},其中x为集合V中的任一节点(起始点),Enew= {},为空;
    3).重复下列操作,直到Vnew= V:
    a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>,其中u为集合Vnew中的元素,而v不在Vnew集合当中,并且v∈V(如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边,则可任意选取其中之一);
    b.将v加入集合Vnew中,将<u, v>边加入集合Enew中;
    4).输出:使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
     
    两种算法复杂度对比:
    Kruskal:克鲁斯卡尔算法需要对图的边进行访问,所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度只和边又关系,可以证明其时间复杂度为O(eloge)。
    Prim :该算法的时间复杂度为O(n2)。与图中边数无关,该算法适合于稠密图
    图例:
    Kruskal算法

    首先第一步,我们有一张图Graph,有若干点和边 

    将所有的边的长度排序,用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序,对局部最优的资源进行选择,排序完成后,我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

    在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

    依次类推我们找到了6,7,7,即DF,AB,BE。

    下面继续选择, BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了(对于BC可以通过CE,EB来连接,类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连)。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了(这里上图的连通线用红色表示了)。

    最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。
     
    Prim算法:
    图例说明不可选可选已选(Vnew
     

    此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 - - -

    顶点D被任意选为起始点。顶点ABEF通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点,因此将A及对应边AD以高亮表示。 C, G A, B, E, F D
     

    下一个顶点为距离DA最近的顶点。BD为9,距A为7,E为15,F为6。因此,FDA最近,因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 C, G B, E, F A, D
    算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 C B, E, G A, D, F
     

    在当前情况下,可以在CEG间进行选择。CB为8,EB为7,GF为11。E最近,因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 C, E, G A, D, F, B
     

    这里,可供选择的顶点只有CGCE为5,GE为9,故选取C,并与边EC一同高亮表示。 C, G A, D, F, B, E

    顶点G是唯一剩下的顶点,它距F为11,距E为9,E最近,故高亮表示G及相应边EG G A, D, F, B, E, C

    现在,所有顶点均已被选取,图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中,最小生成树的权值之和为39。 A, D, F, B, E, C, G

    实现代码:

    Kruskal

     1 typedef struct          
     2 {        
     3     char vertex[VertexNum];                                //顶点表         
     4     int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         
     5     int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         
     6 }MGraph; 
     7  
     8 typedef struct node  
     9 {  
    10     int u;                                                 //边的起始顶点   
    11     int v;                                                 //边的终止顶点   
    12     int w;                                                 //边的权值   
    13 }Edge; 
    14 
    15 void kruskal(MGraph G)  
    16 {  
    17     int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;  
    18     int vset[VertexNum];                                    //辅助数组,判定两个顶点是否连通   
    19     int E[EdgeNum];                                         //存放所有的边   
    20     k=0;                                                    //E数组的下标从0开始   
    21     for (i=0;i<G.n;i++)  
    22     {  
    23         for (j=0;j<G.n;j++)  
    24         {  
    25             if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)  
    26             {  
    27                 E[k].u=i;  
    28                 E[k].v=j;  
    29                 E[k].w=G.edges[i][j];  
    30                 k++;  
    31             }  
    32         }  
    33     }     
    34     heapsort(E,k,sizeof(E[0]));                            //堆排序,按权值从小到大排列       
    35     for (i=0;i<G.n;i++)                                    //初始化辅助数组   
    36     {  
    37         vset[i]=i;  
    38     }  
    39     k=1;                                                   //生成的边数,最后要刚好为总边数   
    40     j=0;                                                   //E中的下标   
    41     while (k<G.n)  
    42     {   
    43         sn1=vset[E[j].u];  
    44         sn2=vset[E[j].v];                                  //得到两顶点属于的集合编号   
    45         if (sn1!=sn2)                                      //不在同一集合编号内的话,把边加入最小生成树   
    46         {
    47             printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);       
    48             k++;  
    49             for (i=0;i<G.n;i++)  
    50             {  
    51                 if (vset[i]==sn2)  
    52                 {  
    53                     vset[i]=sn1;  
    54                 }  
    55             }             
    56         }  
    57         j++;  
    58     }  
    59 }
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