【汉诺塔问题】UVa 10795

【经典汉诺塔问题】

　　汉诺（Hanoi）塔问题：古代有一个梵塔，塔内有三个座A、B、C，A座上有64个盘子，盘子大小不等，大的在下，小的在上。有一个和尚想把这64个盘子从A座移到B座，但每次只能允许移动一个盘子，并且在移动过程中，3个座上的盘子始终保持大盘在下，小盘在上。在移动过程中可以利用B座，要求打印移动的步骤。如果只有一个盘子，则不需要利用B座，直接将盘子从A移动到C。

• 如果有2个盘子，可以先将盘子1上的盘子2移动到B；将盘子1移动到c；将盘子2移动到c。这说明了：可以借助B将2个盘子从A移动到C，当然，也可以借助C将2个盘子从A移动到B。
• 如果有3个盘子，那么根据2个盘子的结论，可以借助c将盘子1上的两个盘子从A移动到B；将盘子1从A移动到C，A变成空座；借助A座，将B上的两个盘子移动到C。这说明：可以借助一个空座，将3个盘子从一个座移动到另一个。
• 如果有4个盘子，那么首先借助空座C，将盘子1上的三个盘子从A移动到B；将盘子1移动到C，A变成空座；借助空座A，将B座上的三个盘子移动到C。

即：f(n)=f(n-1)+1+f(n-1)=(2^n)-1;　　f(1)=1;

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int step = 0;
void move ( char sour, char dest )
{
    printf ( "move from %c to %c 
", sour, dest);
}
void hanoi ( int n, char sour, char temp, char dest )
{
    if (n == 1)
    {
        move (sour, dest);
        ++step;
    }
    else
    {
        hanoi ( n-1, sour, dest, temp );
        move (sour,dest);
        ++step;
        hanoi ( n-1, temp, sour, dest );
    }
}
int main ()
{
    int n = 4;
    hanoi ( n, 'A', 'B', 'C' );
    printf ( "Total steps is %d
", step );
    return 0;
}

【新汉诺塔问题】

　　给定初始局面和目标局面，求从初始局面到目标局面至少需要多少步。

分析:

• 参考局面：待移动盘子k在其初始柱子上且k上无其他盘子，k的目标柱子为空，中间柱子从上到下依次为1,2，...，k-1盘子。
• 首先找不在目标柱子上最大的盘子k，因为如果最大的盘子在目标柱子上它不需要移动，也不碍事。
• 剩下的任务与经典汉诺塔问题类似，即将k-1个盘子移到参考局面；将盘子k移到目标柱子；再将k-1个盘子移到目标局面（因移动是可逆的，故可看做是将目标局面的盘子移到参考局面）。可以看出这是个递归问题。

即我们需要一个函数f(P, i, final) : 将编号为1~i的盘子全部移到柱子final上所需要的步数（数组P表示各盘子的初始柱子编号，除去盘子的初始柱子x和最终柱子y剩下的那根柱子编号为6-x-y，因为只有柱子1,2,3）;

则：ans = f(start,k-1,6-start[k]-finish[k])+f(finish,k-1,6-start[k]-finish[k])+1;

至于函数f的计算，当i为0时，无需移动；否则将1~i-1的盘子全部移到参考局面。若i-1号盘子本身在中转柱子上，那么就等同于只移动1~i-2号盘子到final柱子上。移动1~i-1号盘子由参考局面到目标局面的过程即为经典汉诺塔过程，步数为2^(i-1)-1;此处注意答案要用long long；

 代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int maxn = 65;
int n, A[maxn], B[maxn];
//f(P, i, final) : 将编号为1~i的盘子全部移到柱子final上所需要的步数
//（数组P表示各盘子的初始柱子编号，除去盘子的初始柱子x和最终柱子y剩下的那根柱子编号为6-x-y）
long long f(int* P, int i, int fin)
{
    if(!i) return 0;
    if(P[i] == fin) return f(P, i-1, fin);
    return f(P, i-1, 6-P[i]-fin) + 1 + ((1LL << (i-1)) - 1);
}
int main()
{
    int kase = 0;
    while(scanf("%d", &n) && n)
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d", &A[i]);
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d", &B[i]);
        }
        int k = n;
        while(k && A[k] == B[k])    k--;

        long long ans = 0;
        if(k >= 1)
        {
            int tmp = 6-A[k]-B[k];
            ans = f(A, k-1, tmp) + 1 + f(B, k-1, tmp);
        }
        printf("Case %d: %lld
", ++kase, ans);
    }
    return 0;
}