UVA12546 LCM Pair Sum

传送门

设 $n=prod_{i=1}^{m}p_{i}^{k_i}$

对每个质因子单独考虑，如果 $a$ 的这个质因子 $p_i$ 的次数小于 $k_i$，那么 $b$ 的这个质因子次数必须为 $k_i$

考虑 $a$ 这个质因子有多少种的取值，如果取 $p_{i}^{0}$ 到 $p_{i}^{k_i-1}$ 那么 $b$ 都为 $p_{i}^{k_i}$

那么这种情况对 $a$ 的贡献就是 $sum_{j=0}^{k_i-1}p_{i}^{j}$

如果 $a$ 取 $p_{i}^{k_i}$ ，那么 $b$ 可以取 $p_{i}^{0}$ 到 $p_{i}^{k_i}$，一共有 $k_i+1$ 对

综合一下，$a$ 的这个质因子可以取的总和为 $sum_{j=0}^{k_i}p_{i}^{j}+k_{i} cdot p_{i}^{k_i}$

因为 $a$ 是各个质因子乘起来的结果，所以根据乘法原理 $a$ 的所有取值的总和为 $prod_{i=1}^{m}(sum_{j=0}^{k_i}p_{i}^{j}+k_{i} cdot p_{i}^{k_i})$

$b$ 也同理，然后发现这样把 $a,b$ 看成了有序数对，除了 $(n,n)$ 以外都算了两次，所以把和加上 $(n+n)$ 再除以 $2$ 就是答案了

$sum_{j=0}^{k_i}p_{i}^{j}$ 就是个等比数列求和的式子，公式直接套就行了

注意是在模意义下，套式子的时候负数要转正，除法要转逆元

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int mo=1000000007;
int T,m,a[17],b[17];
inline ll ksm(ll x,ll y)
{
    ll res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) res=res*x%mo;
        x=x*x%mo; y>>=1;
    }
    return res;
}
inline ll F(int a,int x) { return 1ll*(1-ksm(a,x+1)+mo)*ksm(1-a+mo,mo-2)%mo; }
int main()
{
    T=read();
    for(int k=1;k<=T;k++)
    {
        m=read();
        for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=read(),b[i]=read();
        ll n=1,ans=1;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            ll g=ksm(a[i],b[i]),t=(F(a[i],b[i])+1ll*b[i]*g%mo)%mo;
            ans=ans*t%mo; n=n*g%mo;
        }
        ans=(ans*2+(n+n))%mo; ans=ans*ksm(2,mo-2)%mo;
        printf("Case %d: %lld
",k,ans);
    }
    return 0;
}