【LA3126 训练指南】出租车 【DAG最小路径覆盖】

题意

  你在一座城市里负责一个大型活动的接待工作。明天将有m位客人从城市的不同的位置出发，到达他们各自的目的地。已知每个人的出发时间，出发地点和目的地。你的任务是用尽量少的出租车送他们，使得每次出租车接客人时，至少能提前一分钟到达他所在的位置。注意，为了满足这一条件，要么这位客人是这辆出租车接送的第一个人，要么在接送完上一个客人后，有足够的时间从上一个目的地开到这里。

  为了简单起见，假定城区是网格型的，地址用坐标(x,y)表示，出租车从(x1,y1)到(x2,y2)处需要行驶|x1-x2|+|y1-y2|分钟。

分析

  这个模型叫做DAG的最小路径覆盖。所谓最小路径覆盖，就是在图中找尽量少的路径，使得每个结点恰好在一条路径上（换句话说，不同的路径不能有公共点）。注意，单独的一个结点也可以作为一条路径。

  DAG最小路径覆盖的解法如下：把所有的结点i拆为X结点i和Y结点i‘，如果图G中存在有向边i->j，则二分图中引入边i->j'。设二分图的最大匹配数为m，则结果就是n-m。因为匹配和路径覆盖是一一对应的。对于路径覆盖中的每条简单路径，除了最后一个“结尾结点”以外都有唯一的后继和他对应（既匹配结点），因此匹配数就是非结尾结点的个数，当匹配数达到最大时，此时，结尾结点的个数最少，既路径条数最少。

 

 本题建模：每个客人是一个结点，如果同一个出租车接完客人u以后还来得及接客人v，连边u->v。不难发现，这个图是一个DAG，并且它的最小路径覆盖就是本题的答案。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>

using namespace std;
const int maxn=3000+10;
const int maxm=800000;
const int INF=2147483600;
struct Dinic{
    int head[maxn],Next[maxm],to[maxm],cap[maxm],flow[maxm];
    int sz,n,m,s,t;
    bool vis[maxn];
    int cur[maxn],d[maxn];
    void init(int n){
        this->n=n;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        this->sz=-1;
    }
    void add_edge(int a,int b,int c){
        ++sz;
        to[sz]=b;
        cap[sz]=c;flow[sz]=0;
        Next[sz]=head[a];head[a]=sz;
        ++sz;
        to[sz]=a;
        cap[sz]=c;flow[sz]=c;
        Next[sz]=head[b];head[b]=sz;
    }
    bool BFS(){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        queue<int>Q;
        vis[s]=1;
        d[s]=0;
        Q.push(s);
        while(!Q.empty()){
            int u=Q.front();Q.pop();
            for(int i=head[u];i!=-1;i=Next[i]){
                int v=to[i];
                if(!vis[v]&&cap[i]>flow[i]){
                    vis[v]=1;
                    d[v]=d[u]+1;
                    Q.push(v);
                }
            }
        }
        return vis[t];
   }
    int DFS(int x,int a){
        if(x==t||a==0)return a;
        int Flow=0,f;
        for(int& i=cur[x];i!=-1;i=Next[i]){
            int v=to[i];
            if(d[v]==d[x]+1&&(f=DFS(v,min(a,cap[i]-flow[i])))>0){
                Flow+=f;
                flow[i]+=f;
                flow[i^1]-=f;
                a-=f;
                if(a==0)break;
            }
        }
        return Flow;
    }
    int Maxflow(int s,int t){
        this->s=s,this->t=t;
        int Flow=0;
        while(BFS()){
            for(int i=0;i<=n;i++)
             cur[i]=head[i];

            Flow+=DFS(s,INF);
        }
        return Flow;
    }
}dinic;
int T,m;
int sth[maxn],stm[maxn],sx[maxn],sy[maxn],enx[maxn],eny[maxn];
int dist(int x1,int y1,int x2,int y2){
    return abs(x1-x2)+abs(y1-y2);
}
void pass_time(int hou,int mi,int &Hou,int &Mi,int tim){
    Mi=mi+tim;
    Hou=hou+Mi/60;
    Mi=Mi%60;
    return;
}
int main(){
    scanf("%d",&T);
    for(int t=1;t<=T;t++){
        scanf("%d",&m);
        dinic.init(2*m+5);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d:%d%d%d%d%d",&sth[i],&stm[i],&sx[i],&sy[i],&enx[i],&eny[i]);
        }

        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                int tim=dist(sx[i],sy[i],enx[i],eny[i])+dist(enx[i],eny[i],sx[j],sy[j]);
                int Enh,Enm;
                pass_time(sth[i],stm[i],Enh,Enm,tim);
                if(Enh*60+Enm>=sth[j]*60+stm[j])continue;
                dinic.add_edge(i,j+m,1);
            }
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)
          dinic.add_edge(0,i,1);
        for(int i=1;i<=m;i++)
          dinic.add_edge(i+m,2*m+1,1);
        int ans=dinic.Maxflow(0,2*m+1);
        printf("%d
",m-ans);

    }
return 0;
}