忙碌了一个学期终于放暑假了，小白心情很愉快。然而想起CFD教材上的那些点缀着各种让人眼花缭乱符号的数学公式，整个人就不好了。不过这些事情小白也不好意思去麻烦师兄师姐们，还得靠自己去摸索。正好趁着暑假把这些东西整理一下。小白觉得最基础的CFD理论是流动控制方程，除此之外是各种数值算法。
所谓的流动控制方程，指的是流体流动过程中所需要遵循的物理规
律，最常见的流动控制方程包括质量守恒方程、动量守恒方程与能量守恒方程。针对不同的流动工况，控制方程可能还包括组分守恒方程、湍流方程、状态方程等。然而对于任何流动问题，都必须遵循质量守恒方程和动量守恒方程。在非常多去的参考文献中，质量守恒方程也称之为连续方程，而把动量方程称之为纳维-斯托克斯方程，简称NS方程，CFD的任务即求解NS方程。
1 连续方程（质量守恒方程）
连续性方程比较简单。简单来讲，就是流入（流出）系统中的质量要等于系统质量的增加量（减少量）。
连续方程更严谨的表述为：
[控制体内流体质量变化率] = [穿过控制体表面的流体质量流量]
因此有：
[frac{d}{dt}int_{v}{
ho dV}=-int_{s}{
ho vec{v}cdot extbf{n}dS}
]
式中，( extbf{n})为单位法向矢量。
利用高斯散度定理（一个矢量散度的体积分应等于这个体积表面通量的面积分），即：
[-int_{S}{
ho vec{v} cdot extbf{n}dS}=frac{d}{dt}int_{V}{div
ho vec{v}dV}
]
则有：
[frac{d}{dt}int_{V}
ho dV = frac{d}{dt}int_{V}{div
ho vec{v}dV}
]
改变形式可得：
[int_{V}left[frac{partial
ho}{partial t}+
abla cdot (
ho vec{v})
ight]dV = 0
]
式中，(
abla cdot (
ho vec{v}) equiv div
ho vec{v})。
由于推导过程中对控制体形状未做任何限定，因此意味着
[frac{partial
ho}{partial t}+
abla cdot (
ho vec{v}) = 0
]
此即流动控制方程的质量守恒方程。
可展开为：
[frac{partial
ho}{partial t}+frac{partial (
ho u)}{partial x}+frac{partial (
ho v)}{partial y}+frac{partial (
ho w)}{partial z}=0
]
对于不可 压缩流体介质，其密度(
ho)为常数，则质量守恒方程可简化为：
[
abla cdot vec{v}=0
]
展开即为：
[frac{partial u}{partial x}+frac{partial v}{partial y}+frac{partial w}{partial z}=0
]
2 随体导数
随体导数是流体力学中的概念，与数学上的导数概念有差异。随体导数通常指流体微团岁时间的变化率。
随体导数用(frac{D}{Dt})来表示。其形式为：
[frac{D()}{Dt} = frac{partial() }{partial t}+u frac{partial() }{partial x}+vfrac{partial()}{partial y}+wfrac{partial()}{partial z}
]
随体导数非常有用。若将单位质量通用变量记为(phi)，将(phi)对时间的随体导数记为(Dphi/Dt)，则有：
[frac{Dphi}{Dt} = frac{partial phi}{partial t}+u frac{partial phi}{partial x}+v frac{partial phi}{partial y}+wfrac{partial phi}{partial z}
]
此方程定义了单位质量通用变量(phi)对时间的变化率。而单位控制体体积内通用变量(phi)的密度可通过密度(
ho)与(phi)的随体导数的乘积得到，即
[
ho frac{Dphi}{Dt} =
ho frac{partial phi}{partial t}+
ho u frac{partial phi}{partial x}+
ho v frac{partial phi}{partial y}+
ho wfrac{partial phi}{partial z}
]
此式表示单位控制体内通用变量(phi)变化率的非守恒形式。
通过质量守恒方程
[frac{partial
ho}{partial t}+frac{partial (
ho u)}{partial x}+frac{partial (
ho v)}{partial y}+frac{partial (
ho w)}{partial z}=0
]
容易猜想通用变量(phi)的守恒形式的各项可统一表示为：
[frac{partial(
ho phi)}{partial t}+frac{partial(
ho u phi)}{partial x}+frac{partial (
ho v phi )}{partial y}+frac{partial (
ho w phi)}{partial z}=0
]
转换形式：
[frac{partial(
ho phi)}{partial t}+frac{partial(
ho u phi)}{partial x}+frac{partial (
ho v phi )}{partial y}+frac{partial (
ho w phi)}{partial z}=
ho frac{partial phi}{partial t}+
ho u frac{partial phi}{partial x}+
ho v frac{partial phi}{partial y}+
ho w frac{partial phi }{partial z}+phi left[frac{partial phi}{partial t}+frac{partial (
ho u)}{partial x}+frac{partial (
ho v)}{partial y}+frac{partial(
ho w)}{partial z}
ight]
]
而根据质量守恒定律，有
[frac{partial phi}{partial t}+frac{partial (
ho u)}{partial x}+frac{partial (
ho v)}{partial y}+frac{partial(
ho w)}{partial z}=0
]
故可得：
[frac{partial(
ho phi)}{partial t}+frac{partial(
ho u phi)}{partial x}+frac{partial (
ho v phi )}{partial y}+frac{partial (
ho w phi)}{partial z}=
ho frac{partial phi}{partial t}+
ho u frac{partial phi}{partial x}+
ho v frac{partial phi}{partial y}+
ho w frac{partial phi }{partial z}=
ho frac{Dphi}{Dt}
]
因此单位体积内(phi)的变化率可表示为(
ho frac{Dphi}{Dt})。
3 动量守恒方程
应用牛顿第二定律，作用在流体微团上的合力等于流体质量与加速度的乘积，即
[sum{F_x}=ma_x
]
式中，(F_x)和(a_x)分别为(x)方向上的分力与加速度。