问题描述
为了提高智商,ZJY开始学习组合数学。某一天她解决了这样一个问题：给一个网格图,其中某些格子有财宝。每次从左上角出发,只能往右或下走。问至少要走几次才可能把财宝全捡完。
但是她还不知足,想到了这个问题的一个变形:假设每个格子中有好多块财宝,而每一次经过一个格子至多只能捡走一块财宝,其他条件不变,至少要走几次才可能把财宝全捡完?
这次她不会做了,你能帮帮她吗?
输入格式
第一行为一个正整数t,表示数据组数
每组数据的第一行是两个正整数n和m,表示这个网格图有n行m列。
接下来n行,每行m个非负整数,表示这个格子中的财宝数量(0表示没有财宝)。
输出格式
对于每组数据,输出一个整数,表示至少走的次数。
样例输入
1
3 3
0 1 5
5 0 0
1 0 0
样例输出
10
数据范围
对于30%的数据,n≤5.m≤5,每个格子中的财宝数不超过5块。
对于50%的数据,n≤100,m≤100,每个格子中的财宝数不超过1000块
对于100%的数据,n≤1000,m≤1000,每个格子中的财宝不超过10^6块
解析
不妨将每一个财宝都看作是一个点，那么所有财宝构成了一个DAG。问题就是求DAG的一个最小路径覆盖。接下来，我们需要一个结论：
Dilworth定理：DAG的最小链覆盖=最大点独立集 最小链覆盖指选出最少的链(可以重复)使得每个点都在至少一条链中
对于一个矩阵图（即使我们把每一个财宝都看成是点，这个图仍可以看做是矩阵图），最大独立集中的任意两个点一定可以构成左下—右上的关系。不妨考虑DP来解决这个问题。设(f[i][j])表示以点((i,j))为左下角的矩阵中的最大独立集大小。首先考虑继承关系，我们有
[f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j+1])
]
然后，我们有
[f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j+1]+a[i][j])
]
状态转移即可。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define int long long
#define N 1002
using namespace std;
int t,n,m,i,j,a[N][N],f[N][N];
int read()
{
char c=getchar();
int w=0;
while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
while(c<='9'&&c>='0'){
w=w*10+c-'0';
c=getchar();
}
return w;
}
signed main()
{
t=read();
while(t--){
n=read();m=read();
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=m;j++) a[i][j]=read();
}
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=m;j>=1;j--){
f[i][j]=max(f[i][j+1],f[i-1][j]);
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j+1]+a[i][j]);
}
}
printf("%lld
",f[n][1]);
}
return 0;
}