费氏搜索浅谈

说明：

二分搜尋法每次搜尋時，都會將搜尋區間分為一半，所以其搜尋時間為O(log(2)n)，log(2)表示以2為底的log值，

這邊要介紹的費氏搜尋，其利用費氏數列作為間隔來搜尋下一個數，所以區間收斂的速度更快，搜尋時間為O(logn)。

解法：

費氏搜尋使用費氏數列來決定下一個數的搜尋位置，所以必須先製作費氏數列，這在之前有提過；費氏搜尋會先透過公式計算求出第一個要搜尋數的位置，以及其代表的費氏數，以搜尋對象10個數字來說，第一個費氏數經計算後一定是F5，而第一個要搜尋的位置有兩個可能，例如若在下面的數列搜尋的話（為了計算方便，通常會將索引0訂作無限小的數，而數列由索引1開始）：

-∞ 1 3 5 7 9 13 15 17 19 20

如果要搜尋5的話，則由索引F₅（F₅表示第五個費式數作為索引，也就是5）開始搜尋，接下來如果數列中的數大於指定搜尋值時，就往左找，小於時就向右，每次找的間隔是F₄（第四個費式數作為索引，也就是3）、F₃（第三個費式數作為索引，也就是2）、F₂（第二個費式數作為索引，也就是1）來尋找，當費氏數為0時還沒找到，就表示尋找失敗，如下所示：

如果要搜尋19，由於第一個搜尋值索引F₅處的值小於19，所以此時必須對齊數列右方，也就是將第一個搜尋值的索引改為F₅+2 = 7，然後如同上述的方式進行搜尋，如下所示：

至於第一個搜尋值是如何找到的？我們可以由以下這個公式來求得，其中n為搜尋對象的個數，F_y為第y個費式數，必須大於等於n，若算出x值，則使用F_x作為第一個搜尋索引，也就是第x個費式數：

F_y + m = n
F_y >= n + 1
x = y - 1

以10個搜尋對象來說：

F_y + m = 10

取F_y = 8, m = 2，所以可以對照費氏數列得到8是第六個費式數，所以y=6，所以x得5，也就是使用第五個費式數的值（也就是5）作為索引開始搜尋。

如果數列在索引5處的值大於指定的搜尋值，則第一個搜尋位置就是索引5的位置，如果小於指定的搜尋值，則第一個搜尋位置必須加上m，也就是F₅ + m = 5 + 2 = 7，也就是索引7的位置，其實加上m的原因，是為了要讓下一個搜尋值剛好是數列的最後一個位置。

費氏搜尋看來難懂，但只要掌握F_y + m = n這個公式，自己找幾個實例算一次，很容易就可以理解；費氏搜尋除了收斂快速之外，由於其本身只會使用到加法與減法，在運算上也可以加快。

//建立费氏数列
void createfib()
{
      int i;
      Fib[0] = 0;
      Fib[1] = 1;
      for(i = 2; i < MAX;i++)
           Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2];
}

//找x值
int findx(int n,int find)
{
      int i = 0;
      while(Fib[i] <= n)
      i++;
      return --i;
}
//费氏搜寻
int fibsearch(int number[],int find)
{
        int i ,x,m;
        createfib();
        x = findx(MAX+1,find);
        m = MAX - Fib[x];
        printf("\nx=%d,m = %d,Fib[x] = %d\n\n",x,m,Fib[x]);
        x--;
       i = x;

//费氏搜索关键代码
      if(number[i] < find)
             i += m;
      while(Fib[x] > 0)
      {
           if(number[i] < find)
                  i +=Fib[--x];
           else
                if(number[i] > find)
                       i -= Fib[--x];
               else
                      return i;
 
        }
       return -1;
}