A*（A-Star）搜索算法 入门详解

A*（A-Star）搜索算法

• A*（A-Star）算法是一种静态路网中求解最短路径最有效的直接搜索方法，也是解决许多搜索问题的有效算法。
• 它的实现基于最朴素的BFS搜索，却通过估价函数优化使得搜索效率大大提升。

最短路模型

• 设一个优先队列$Q$，初始放入起点，
• 设估价函数$F(x)=G(x)+H(x)$，其中$G(x)$为起点到$x$点已移动的实际距离，$H(x)$为$x$点到重点至少需要移动的估算代价（后面详细介绍），则$F(x)$表示总距离。
• 每次从$Q$中取出$F$值最小的点，进行增广，
• 再算出走到的点的$F$值，加入$Q$中。
• 这样当第一次走到终点是，终点的$G$值则为最短路。.

实际应用

• 很显然，实现最短路是不需要用A*这样的搜索算法的（可以用SPFA，dijkstra等）
• 所以，最短路只是相当于一个模型，用于介绍A*算法， 更便于理解。
• 一般用于搜索中，通过若干次操作使状态$S$变成目标状态$T$，求最小操作数，
• $G(x)$表示到当前状态的实际操作数，
• $H(x)$是到目标状态的估算代价，因为我们还没有到达目标状态，不知道其实际代价，只能通过估计，
• 然后找到$F(x)=G(x)+H(x)$最小，即估算出来的总代价最小的状态进行转移，一定程度上能够优化普通的搜索。
• $F(x)$在$G(x)$一定时，或多或少会受到$H(x)$的影响，所以$H(x)$会影响到每次的操作的优先顺序，不会像普通的搜索一样按部就班的来。
• 也就是说，并不知道如何操作是最优的，但可以优先选择估计最优的状态进行下一步操作，使得尽可能地先操作更优的状态，使得离真实答案更加接近，达到优化时间的目的。

估算代价

• 现在问题来了，这个所谓的“估算代价”是什么？？
• 顾明思义，这是一个估计值，相当于是猜测。
• 用简单的常数级别时间的计算得到的一个值作为$H(x)$。
• 再回到最短路模型中，假设是在一张有障碍的网格图上，$H(x)$可以取当前点到终点间的曼哈顿距离，也就是忽略障碍的存在，
• 也就是取一个接近真实，但相比真实可以用更短时间算出来的值作为估算代价。
• 可以理解成转换了操作或限制，使得两种状态间的代价可以直接计算，则这样计算出来的代价作为估算代价，以便用于估价函数的计算。
• $H(x)$的取值情况会影响程序的效率：
• 如果$H(x)$小于实际代价，那么搜索的状态多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。
• 如果$H(x)$等于实际代价，那么搜索将严格沿着最优方案进行， 此时的搜索效率是最高的。
  如果$H(n)$d大于实际代价，那么搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。

模型模板

• 经典问题：第K短路