倍增 思想与操作

倍增

倍增是把时间复杂度为$O(n)$的一个操作变为$O({\log }_{2}n)$的操作。
它与分治的思想类似，时间复杂度也类似。
它们的区别如下：
分治是将一个问题分成若干个子问题，最后的答案由子问题的答案合并得到。
倍增是将一个需要执行多次的操作分解，操作的结果直接由两个子操作的结果得到。

例子

最常见的例子就是在树上倍增。
每个询问要求节点$x$向上跳$s$次到达的节点编号。
若每次暴力向父亲节点跳，一共跳$s$次，时间复杂度特别大。
这时就要使用倍增。

如何实现

维护每个节点向上跳可到达的节点编号。
设$f[i][j]$表示节点$i$向上跳$2^j$次到达的节点编号。
所有的$f[i][0]$自然就为$father[i]$（$i$的父亲节点），其余的如何转移？
我们可以发现，向上跳$2^j$次就相当于是先向上跳$2^{j-1}$次，再向上跳$2^{j-1}$次。
于是我们不难得到转移方程：
$$f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]$$

void dfs(int i,int fa)
{
	f[i][0]=fa;
	for(j=1;j<=log(n);j++) f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
	for(j=last[i];j;j=next[j]) if(a[j]!=fa) dfs(a[j],i);	
}

怎么跳？
类似十进制转二进制的方式，从大到小枚举$j$，如果$s\ge 2^j$就把$x$跳到$f[x][j]$，并且把$s-2^j$。

for(j=log(n);j>=0;j--)
{
	if(s>=p[j]) 
	{
		x=f[x][j];
		s-=p[j];
	}
}

总结

可以用倍增实现的还有很多，如树上最大值、树上两点的最近公共祖先（LCA）等，对解题有很大帮助。
相信你已经对倍增了解不少了。要时刻记得，算法是死的而人是活的，必须学会灵活变通，找到题目突破口，才能顺利解题！