JZOJ 7036. 2021.03.30【2021省赛模拟】凌乱平衡树（平衡树单旋+权值线段树）

JZOJ 7036. 2021.03.30【2021省赛模拟】凌乱平衡树

题目大意

• 给出两棵Treap，大小分别为$n,m$，每个点的$priority$值为子树大小（因此满足大根堆性质），$Q$次修改（修改是永久的），每次单旋一个节点，求修改前和每次修改后后两树合并之后的所有节点深度之和。合并按照Treap的合并方式，左树根为$x$，右树根为$y$时，当$siz{e}_x\ge siz{e}_y$时以$x$为根，否则反之。
• $1\le n,m,Q\le 2\ast 10^5$

题解

• 考虑合并的过程，记录当前深度$dp$，左树根每次向右走，就加上左儿子$F+G\ast dp$，含义是所有点到左子树根的深度加上到实际的根深度差值。右边同理。这样需要在每次单旋后重新计算每个子树的大小$G$及以该子树根为根的深度和$F$。$G$可以在常数复杂度内维护，但$F$不行。
• 换一种思路，记录总的深度和$sum$，每次求出合并后增加的差值。这样合并的过程中，左树根每次向右走，则加上右树根的$G$，含义是它子树内所有点的深度都会被增加$1$。右边同理。
• 而合并时左树根始终向右，右树根始终向左，其它的节点是不会经过的，且与它相关的值也不会调用到，所以可以把左根向右和右根向左两条链（以下称为链）单独看，设链上$G$序列左边依次为$A$，右边为$B$。$A_i$对答案的贡献次数为$(A_i,A_{i-1}]$中$B$的个数，$B_i$对答案的贡献次数为$[B_i,B_{i-1})$中$A$的个数，注意这里区间的开闭情况。
• 那么可以用权值线段树维护，把初始的$A$和$B$都存进同一棵权值线段树中，在单旋时进行修改。
• 只有两种情况需要修改：
• 1、单旋的节点$x$和$x$的父亲都在链中；
• 2、单旋的节点$x$不在链中，$x$的父亲在链中。
• 修改时因为$G$值会改变，所以需要先删除该点及其贡献，修改完$G$后再加入回来。修改的贡献不仅有它自己的贡献，还有$A$和$B$中它们前驱的贡献。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 200010
#define ll long long
struct {
	int p[2];
}f[N * 4];
int ns;
ll ans;
void is(int v, int l, int r, int x, int o, int c) {
	if(l == r) {
		f[v].p[o] += c;
	}
	else {
		int mid = (l + r) / 2;
		if(x <= mid) is(v * 2, l, mid, x, o, c); else is(v * 2 + 1, mid + 1, r, x, o, c);
		f[v].p[o] = f[v * 2].p[o] + f[v * 2 + 1].p[o];
	}
}
int get(int v, int l, int r, int x, int y, int o) {
	if(x > y) return 0;
	if(l == x && r == y) return f[v].p[o];
	int mid = (l + r) / 2;
	if(y <= mid) return get(v * 2, l, mid, x, y, o);
	if(x > mid) return get(v * 2 + 1, mid + 1, r, x, y, o);
	return get(v * 2, l, mid, x, mid, o) + get(v * 2 + 1, mid + 1, r, mid + 1, y, o);
}
int find(int v, int l, int r, int x, int y, int k, int o) {
	if(f[v].p[o] < k || x > y) return -1;
	if(l == r) return l;
	int mid = (l + r) / 2;
	if(y <= mid) return find(v * 2, l, mid, x, y, k, o);
	if(x > mid) return find(v * 2 + 1, mid + 1, r, x, y, k, o);
	int s = get(v * 2, l, mid, x, mid, o);
	if(s >= k) return find(v * 2, l, mid, x, mid, k, o);
	return find(v * 2 + 1, mid + 1, r, mid + 1, y, k - s, o);
}
int find0(int v, int l, int r, int x, int y, int k, int o) {
	if(f[v].p[o] < k || x > y) return -1;
	if(l == r) return l;
	int mid = (l + r) / 2;
	if(y <= mid) return find0(v * 2, l, mid, x, y, k, o);
	if(x > mid) return find0(v * 2 + 1, mid + 1, r, x, y, k, o);
	int s = get(v * 2 + 1, mid + 1, r, mid + 1, y, o);
	if(s >= k) return find0(v * 2 + 1, mid + 1, r, mid + 1, y, k, o);
	return find0(v * 2, l, mid, x, mid, k - s, o);
}
ll count(int x, int o) {
	if(!o) {
		int t = find(1, 1, ns, x, ns, 2, 0);
		if(t == -1) t = ns;
		return (ll)get(1, 1, ns, x + 1, t, 1) * x;
	}
	else {
		int t = find(1, 1, ns, x, ns, 2, 1);
		if(t == -1) t = ns + 1;
		return (ll)get(1, 1, ns, x, t - 1, 0) * x;
	}
}
int fr(int x, int o) {
	if(!o) {
		int t = find0(1, 1, ns, 1, x, 1, 1);
		return t == -1 ? 0 : t;
	}
	else {
		int t = find0(1, 1, ns, 1, x - 1, 1, 0);
		return t == -1 ? 0 : t;
	}
}
struct {
	int s, rt, p[N];
	ll F[N], si[N], sum;
	struct {
		int s[2], fa, p;	
	}f[N];
	void ins(int r, int l, int i) {
		f[i].s[0] = l, f[i].s[1] = r;
		f[l].fa = f[r].fa = i;
		f[l].p = 0, f[r].p = 1;
	}
	void ro(int x, int o) {
		int y = f[x].fa, z = f[y].fa, py = f[x].p, pz = f[y].p;
		f[z].s[pz] = x, f[x].fa = z, f[x].p = pz;
		f[y].s[py] = f[x].s[py ^ 1], f[f[x].s[py ^ 1]].fa = y, f[f[x].s[py ^ 1]].p = py;
		f[x].s[py ^ 1] = y, f[y].fa = x, f[y].p = py ^ 1;
		if(rt == y) rt = x;
		int tp;
		if(p[y] && p[x]) {
			ans -= count(si[x], o) + count(si[y], o);
			ans -= fr(si[y], o) + fr(si[x], o);
			tp = find0(1, 1, ns, 1, si[x], 2, o);
			if(tp > 0) ans -= count(tp, o);
			is(1, 1, ns, si[y], o, -1);
			is(1, 1, ns, si[x], o, -1);
		}
		else if(p[y] && !p[x]) {
			ans -= count(si[y], o);
			ans -= fr(si[y], o);
			tp = find0(1, 1, ns, 1, si[y], 2, o);
			if(tp > 0) ans -= count(tp, o);
			is(1, 1, ns, si[y], o, -1);
		}
		
		si[y] = si[f[y].s[0]] + si[f[y].s[1]] + 1;
		si[x] = si[f[x].s[0]] + si[f[x].s[1]] + 1;
		sum += si[f[y].s[py ^ 1]] - si[f[x].s[py]];
		
		if(p[y] && p[x]) {
			is(1, 1, ns, si[x], o, 1);
			ans += fr(si[x], o);
			ans += count(si[x], o);
			if(tp > 0) ans += count(tp, o);
			p[y] = 0;
		}
		else if(p[y] && !p[x]) {
			is(1, 1, ns, si[x], o, 1);
			is(1, 1, ns, si[y], o, 1);
			ans += fr(si[y], o) + fr(si[x], o);
			ans += count(si[y], o) + count(si[x], o);
			if(tp > 0) ans += count(tp, o);
			p[x] = 1;
		}
	}
	int find() {
		for(int i = 1; i <= s; i++) if(f[i].fa == 0) return i;
	}
	void dfs(int k) {
		F[k] = 1, si[k] = 1;
		if(f[k].s[0]) dfs(f[k].s[0]), si[k] += si[f[k].s[0]], F[k] += F[f[k].s[0]] + si[f[k].s[0]];
		if(f[k].s[1]) dfs(f[k].s[1]), si[k] += si[f[k].s[1]], F[k] += F[f[k].s[1]] + si[f[k].s[1]];
	}
}a, b;
void solve() {
	int x = a.rt;
	while(x) is(1, 1, ns, a.si[x], 0, 1), a.p[x] = 1, x = a.f[x].s[1];
	x = b.rt;
	while(x) is(1, 1, ns, b.si[x], 1, 1), b.p[x] = 1, x = b.f[x].s[0];
	ans = 0;
	x = a.rt;
	while(x) ans += count(a.si[x], 0) ,x = a.f[x].s[1];
	x = b.rt;
	while(x) ans += count(b.si[x], 1), x = b.f[x].s[0];
	printf("%lld
", ans + a.sum + b.sum);
}
int read() {
	int s = 0;
	char x = getchar();
	while(x < '0' || x > '9') x = getchar();
	while(x >= '0' && x <= '9') s = s * 10 + x - 48, x = getchar();
	return s;
}
int main() {
	int Q, i;
	scanf("%d%d", &a.s, &b.s);
	for(i = 1; i <= a.s; i++) {
		a.ins(read(), read(), i);
	}
	for(i = 1; i <= b.s; i++) {
		b.ins(read(), read(), i);
	}
	ns = max(a.s, b.s) + 1;
	a.rt = a.find(), b.rt = b.find(); 
	a.dfs(a.rt), b.dfs(b.rt);
	a.sum = a.F[a.rt], b.sum = b.F[b.rt];
	scanf("%d", &Q);
	solve();
	while(Q--) {
		if(read() == 1) a.ro(read(), 0); else b.ro(read(), 1);
		printf("%lld
", ans + a.sum + b.sum);
	}
	return 0;
}

自我小结

• 细节比较多，各条语句中的顺序很重要，需要理清楚。