二分图及其~~谜一样的~~名词

匹配

设(G = <V, E>), 若(E*(E^{star} in E))中任何两条边均不相邻, 则称E为G中边独立集, 也称E为G中的匹配(Matching)
若在E中加入任意一条边所得集合都不是匹配, 则称E为极大匹配
边数最多的匹配称为最大匹配

通俗的来讲，就是选出一些边，使得任意两个边没有公共顶点。

点支配集

定义 支配与支配集设图(G = <V, E>),(V^{star} subseteq V), 若对于任意(v_i in V - V^{star}),存在(v_j in V^{star}),使得: ((vi, vj) in E), 则称(v_j)支配(v_i), 并称(V^{star})为(G)的一个支配集;
若支配集(V^{star})的任何真子集都不是支配集, 则称(V^{star})是极小支配集
顶点数最少的支配集称为最小支配集;

通俗的来讲，就是一个点，要么是在(V^{star})，要么是与(V^{star})相邻。可以相邻

然后最小支配集就是选出符合上述条件的集合中元素最少的。从从属关系上来看，最小支配集是极小支配集的一种。一定要搞清楚极小*是不可拆分的，最小是最少点数的，也就暗示了同样不可拆分qwq。

支配集的性质

1. 若(G)中无孤立顶点(度数为(0)的顶点)，则存在一个支配集(V^{star})，使得(G)中除(V^{star})外的所有顶点也组成一个支配集(即(V - V^{star})也是一个支配集)。

这条性质就是类似于反支配的意思，不过是有前提的。

2. 若G中无孤立顶点(度数为(0)的顶点)，$ V_1^{{star}$为极小支配集，则$G$中除$V_1}{star}(外的所有顶点也组成一个支配集(即)V – V1^{star}$也是一个支配集)。

上面这就是反支配的一种条件。自我感觉是类似与二分图两部分点互相支配的味道。

点独立集

设图(G = <V, E>, V^{star} subseteq V), 若(V^{star})中任何两个顶点均不相邻,
则称(V^{star})为(G)的点独立集, 或称独立集
若在(V^{star})中加入任何顶点都不再是独立集, 则称(V^{star})为极大点独立集
顶点数最多的点独立集称为最大点独立集
最大点独立集的顶点数称为点独立数。

覆盖与点覆盖集

设(G = <V, E>),(V^{star} subseteq V), 若对于任意(e in E),存在(v in V^{star}), 使得:$ v(与)e(相关联, 则称)v(覆盖)e(, 并称)V^{|star}(为)G(的点覆盖集或简称点覆盖 若点覆盖)V^{star}(的任何真子集都不是点覆盖, 则称)V^{star}$是极小点覆盖;
顶点个数最少的点覆盖称为最小的点覆盖
最小点覆盖的顶点数称为点覆盖数。

简单来说，就是点盖边，和点支配集（点盖点）类似。所有的边至少有一个端点在所选的点覆盖集中。同样(V^{star})中的点可以相邻。

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点支配集、点独立集、点覆盖集之间的联系

1. 定理： 设(G = <V, E>)中无孤立点，则(G)的极大点独立集都是(G)的极小支配集。逆命题不成立(即极小支配集未必是极大独立集。

2. 一个独立集是极大独立集，当且仅当它是一个支配集。
3. 定理： 设(G = <V, E>)中无孤立点, (V*(V^{star} subset V))为(G)的点覆盖,
   当且仅当(V-V^{star})为(G)的点独立集。
    推论：设(G)是(n)阶无孤立点的图，则(V^{star})是(G)的极小(最小)点覆盖，当且仅当(V-V^{star})是(G)的极大(最大)点独立集，从而有"极小(最小)点覆盖集的元素个数+极大(最大)点独立集中的元素个数=顶点个数"。

稍微加些自己的理解。

对于定理一：对于那些不再极大点独立集的点，肯定不相邻。所以不会互相支配。然后又因为极大点独立集已经不可以增加元素，所以剩下的可以支配在极大点独立集中的电，而且不可能在增加，因为图中只有这两种点qwq

对于定理二：对于相邻的两个点在极大点独立集，他们之间的距离最大是2条边（如果是三条边，则在中间还可以增加可以增加一个点，不符合极大点独立集性质，这里比较不严谨qwq），然后肯定是能支配的，然后不一定是极小点支配集（切记）

对于定理三：因为图中只有这两种点，所以节点数和就等于所有的节点数

补充一条

设(G = <V, E>)中无孤立点, 则(G)的极大点独立集都是(G)的极小支配集

这与上面的定理2并不矛盾，这一条被囊括在上面的定理2中。

定理 设(G = <V, E>)中无孤立点, (V^{star}(V^{star} subset V))为(G)的点覆盖,
当且仅当(V-V^{star})为(G)的点独立集。
证：
必要性
假设: 存在(v_i,v_j in V - V^{star}), 且((vi, vj) in E)。
由于顶点(v_i)和(v_j)都不在(V^{star})中, 这显然与“(V^{star})是点覆盖”相矛盾。
所以, (V - V^{star})为点独立集。
充分性
假设: (V - V^{star})是点独立集。
因此, 任意一条边的两个端点至少有一个在(V^{star})中。
由定义可知: (V^{star})是(G)的点覆盖。

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边覆盖集与匹配(都是边的集合)

覆盖;

定义 覆盖与边覆盖集
设图(G = <V, E>),$ E^{star}subseteq E(, 若)v in V(,)einE^{star}(, 使得:) v(与)e(相关联, 则称)e(覆盖)v(, 并称)E^{star}(为边覆盖集, 或简称边覆盖。 若边覆盖)E^{star}$的任何真子集都不是边覆盖, 则称E*是极小边覆盖。
边数最少的边覆盖集称为最小的边覆盖。
最小的边覆盖所含的边数称为边覆盖数。

简单地说，就是使得(V)中的节点都是(E^{star})中边的端点，可以一个顶点被多条边覆盖。

匹配

定义 匹配
设(G = <V, E>), 若(E^{star}(E^{star} in E ))中任何两条边均不相邻。
则称(E^{star})为G中边独立集, 也称(E^{star})为(G)中的匹配
若在(E^{star})中加入任意一条边所得集合都不是匹配, 则称(E^{star})为极大匹配。
边数最多的匹配称为最大匹配。
最大匹配的边数称为边独立数或匹配数。

最简单的来讲，就是在覆盖的基础上，增加了一个顶点只能被一条边覆盖的条件。

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在一般的无向图中，有这么两种关系

点覆盖数 + 点独立数 = 顶点数
边覆盖数 + 边独立数 = 顶点数

而对于二分图来说，则有如下性质。

最小点覆盖数＝等于最大匹配数
最大点独立数＝顶点个数－最大匹配数=顶点个数－最小顶点覆盖数

然后我们求得最大匹配数，就可以知道其他两个变量了。

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